Номер 69, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Множества. Операции над миножествами - номер 69, страница 215.

Учебник.

69. Какое из данных чисел является рациональным:

1) $\sqrt{2,5}$;

2) $\sqrt{3}$;

3) $\pi$;

4) $\sqrt{0,04}$?

Решение 2.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Корень квадратный из положительного рационального числа будет рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом другого рационального числа.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $\sqrt{2,5}$

Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Тогда $\sqrt{2,5} = \sqrt{\frac{5}{2}}$. Так как число $\frac{5}{2}$ не является квадратом какого-либо рационального числа (поскольку ни 5, ни 2 не являются квадратами целых чисел), то $\sqrt{2,5}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

2) $\sqrt{3}$

Число 3 не является полным квадратом целого числа. Квадратный корень из натурального числа, не являющегося полным квадратом, всегда является иррациональным числом. Следовательно, $\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Ответ: иррациональное число.

3) $\pi$

Число $\pi$ (пи) — это известная математическая константа, которая является иррациональным числом. Его десятичное представление бесконечно и непериодично ($\pi \approx 3,14159...$).

Ответ: иррациональное число.

4) $\sqrt{0,04}$

Вычислим значение данного выражения. Можно представить десятичную дробь $0,04$ в виде обыкновенной: $0,04 = \frac{4}{100}$.

Тогда $\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Число $0,2$ является конечной десятичной дробью, и его можно представить в виде дроби $\frac{2}{10}$ или, после сокращения, $\frac{1}{5}$. Так как это число можно представить в виде отношения целого числа к натуральному, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.