Страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

64. За первый день в библиотеку завезли $\frac{5}{8}$ всех книг, а за второй – остальные 72 книги. Сколько книг завезли в библиотеку за два дня?

Примем все книги, завезенные в библиотеку, за 1 (одну целую).
1. Сначала найдем, какая часть книг была завезена во второй день. Для этого вычтем из общего количества (1) часть книг, завезенных в первый день ($\frac{5}{8}$):
$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
Таким образом, во второй день завезли $\frac{3}{8}$ всех книг.

2. Из условия задачи мы знаем, что количество книг, завезенных во второй день, равно 72. Это означает, что $\frac{3}{8}$ от общего числа книг составляют 72 книги. Чтобы найти общее количество книг (целое по его части), нужно число разделить на дробь:
$72 \div \frac{3}{8} = 72 \times \frac{8}{3} = \frac{72 \times 8}{3} = 24 \times 8 = 192$ (книги)
Это и есть общее количество книг, завезенных в библиотеку за два дня.
Ответ: 192 книги.

65. В саду растут яблони, сливы и груши. Яблони составляют $\frac{7}{18}$ всех деревьев, сливы – $\frac{15}{22}$ остальных деревьев, а груши – 35 деревьев.

Сколько всего деревьев в саду?

Пусть $x$ — общее количество деревьев в саду.

1. Согласно условию, яблони составляют $\frac{7}{18}$ всех деревьев. Найдем, какая часть деревьев осталась в саду (это сливы и груши вместе):
$1 - \frac{7}{18} = \frac{18}{18} - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$ всех деревьев.

2. Сливы составляют $\frac{15}{22}$ от оставшихся деревьев. Чтобы найти, какую часть от общего числа деревьев составляют сливы, умножим долю оставшихся деревьев на долю слив среди них:
$\frac{11}{18} \times \frac{15}{22} = \frac{11 \times 15}{18 \times 22} = \frac{1 \times 15}{18 \times 2} = \frac{15}{36}$.
Сократим полученную дробь на 3:
$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
Таким образом, сливы составляют $\frac{5}{12}$ всех деревьев в саду.

3. Оставшиеся деревья — это груши. Чтобы найти, какую долю от всех деревьев составляют груши, вычтем из общей доли деревьев доли яблонь и слив. Доля яблонь — $\frac{7}{18}$, доля слив — $\frac{5}{12}$.
Доля груш = $1 - (\frac{7}{18} + \frac{5}{12})$.
Найдем сумму в скобках. Общий знаменатель для 18 и 12 равен 36.
$\frac{7}{18} + \frac{5}{12} = \frac{7 \times 2}{18 \times 2} + \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{14}{36} + \frac{15}{36} = \frac{29}{36}$.
Теперь найдем долю груш:
$1 - \frac{29}{36} = \frac{36}{36} - \frac{29}{36} = \frac{7}{36}$.
Итак, груши составляют $\frac{7}{36}$ всех деревьев.

4. В условии сказано, что в саду растет 35 груш. Это означает, что $\frac{7}{36}$ от общего числа деревьев $x$ равны 35. Составим уравнение:
$\frac{7}{36}x = 35$.

5. Найдем $x$ из этого уравнения:
$x = 35 \div \frac{7}{36} = 35 \times \frac{36}{7} = \frac{35 \times 36}{7}$.
Сократим 35 и 7:
$x = 5 \times 36 = 180$.
Всего в саду 180 деревьев.

Ответ: 180 деревьев.

66. Какое из данных утверждений неверно:

1) $ -2 $ — действительное число;

2) $ -2 $ — рациональное число;

3) $ -2 $ — целое число;

4) $ -2 $ — натуральное число?

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо последовательно проанализировать каждое из них, вспомнив определения различных множеств чисел.

В математике числа классифицируются следующим образом:

• Натуральные числа ($ \mathbb{N} $) — это числа, используемые при счете: $ 1, 2, 3, \ldots $.
• Целые числа ($ \mathbb{Z} $) — это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: $ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots $.
• Рациональные числа ($ \mathbb{Q} $) — это числа, которые можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ — целое число, а $ q $ — натуральное. Все целые числа являются рациональными.
• Действительные числа ($ \mathbb{R} $) — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой; они включают в себя рациональные и иррациональные числа.

Теперь проверим истинность каждого утверждения для числа $-2$:

1) -2 – действительное число

Число $-2$ является целым. Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел. Следовательно, $-2$ – это действительное число. Утверждение верно.

2) -2 – рациональное число

Число $-2$ можно представить в виде дроби, например, как $ \frac{-2}{1} $. По определению, это означает, что $-2$ является рациональным числом. Утверждение верно.

3) -2 – целое число

Множество целых чисел включает в себя отрицательные целые числа. Число $-2$ относится к этой категории. Утверждение верно.

4) -2 – натуральное число

Натуральные числа — это положительные целые числа, используемые для счета ($1, 2, 3, \ldots$). Число $-2$ является отрицательным, поэтому оно не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение неверно.

Таким образом, единственное неверное утверждение — это утверждение под номером 4.

Ответ: 4

67. Верно ли утверждение:

1) $1 \in N$;

2) $1 \in Z$;

3) $1 \in Q$;

4) $1 \in R$;

5) $0 \in N$;

6) $0 \notin Z$;

7) $0 \in R$;

8) $-3,2 \in N$;

9) $-3,2 \in R$;

10) $-\frac{5}{9} \in Q$;

11) $-\frac{5}{9} \notin R$;

12) $\sqrt{9} \in Q$;

13) $\sqrt{5} \in Q$;

14) $\sqrt{5} \in R$;

15) $\frac{\pi}{2} \in Q$;

16) $\frac{\pi}{2} \in R$;

Для решения данной задачи необходимо определить принадлежность указанных чисел к различным числовым множествам:
$N$ — множество натуральных чисел (целые положительные числа: $1, 2, 3, \ldots$);
$Z$ — множество целых чисел ($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$);
$Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z, q \in N$);
$R$ — множество действительных чисел (включает все рациональные и иррациональные числа).

1) $1 \in N$
Число 1 используется при счете предметов и является первым натуральным числом. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) $1 \in Z$
Множество целых чисел включает все натуральные числа, поэтому 1 является целым числом. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

3) $1 \in Q$
Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $1 = \frac{1}{1}$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

4) $1 \in R$
Множество действительных чисел включает все рациональные числа. Поскольку 1 — рациональное число, оно также является действительным. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

5) $0 \in N$
В математике, изучаемой в школе, множество натуральных чисел начинается с 1. Ноль не является натуральным числом. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

6) $0 \notin Z$
Данное утверждение означает "0 не принадлежит множеству целых чисел". Это ложно, так как 0 по определению входит в множество целых чисел. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

7) $0 \in R$
Число 0 является целым, а значит и рациональным числом. Все рациональные числа являются действительными. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

8) $-3,2 \in N$
Натуральные числа — это целые положительные числа. Число $-3,2$ не является ни целым, ни положительным. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

9) $-3,2 \in R$
Число $-3,2$ является конечной десятичной дробью. Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом ($-3,2 = -\frac{32}{10}$), а все рациональные числа входят в множество действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

10) $-\frac{5}{9} \in Q$
Число $-\frac{5}{9}$ по определению является рациональным, так как представлено в виде дроби, где числитель - целое число, а знаменатель - натуральное. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

11) $-\frac{5}{9} \notin R$
Это утверждение означает, что $-\frac{5}{9}$ не является действительным числом. Это ложно, так как все рациональные числа являются действительными. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

12) $\sqrt{9} \in Q$
Поскольку $\sqrt{9} = 3$, а число 3 является целым и, следовательно, рациональным ($3 = \frac{3}{1}$), утверждение верно.
Ответ: Верно.

13) $\sqrt{5} \in Q$
Корень из 5 является иррациональным числом, так как его нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Его десятичное представление бесконечно и непериодично. Следовательно, $\sqrt{5}$ не принадлежит множеству рациональных чисел. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

14) $\sqrt{5} \in R$
Множество действительных чисел включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Поскольку $\sqrt{5}$ — иррациональное число, оно принадлежит множеству действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

15) $\frac{\pi}{2} \in Q$
Число $\pi$ является иррациональным. Результат деления иррационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае 2) также является иррациональным числом. Следовательно, $\frac{\pi}{2}$ не является рациональным. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

16) $\frac{\pi}{2} \in R$
Число $\frac{\pi}{2}$ является иррациональным, а все иррациональные числа входят в множество действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

68. Укажите диаграмму Эйлера (рис. 1), на которой правильно изображено соотношение между множествами $N$ и $Z$.

Рис. 1

а
$N$ $Z$

б
$N$ $Z$

в
$N=Z$

г
$N$ $Z$

д
$Z$ $N$

Для определения правильной диаграммы Эйлера необходимо установить соотношение между множеством натуральных чисел $N$ и множеством целых чисел $Z$.

Множество натуральных чисел $N$ — это множество чисел, возникающих естественным образом при счете. В зависимости от соглашения, оно может включать или не включать ноль. В стандартной российской школьной программе натуральные числа — это $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Множество целых чисел $Z$ — это расширение множества натуральных чисел, которое включает натуральные числа, ноль и отрицательные целые числа: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Сравнивая эти два множества, можно сделать следующие выводы:

1. Каждое натуральное число является целым числом. Например, число 7 принадлежит как множеству $N$, так и множеству $Z$.

2. Существуют целые числа, которые не являются натуральными. Это число 0 и все отрицательные целые числа (например, -1, -15).

Из этого следует, что множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$. Поскольку есть элементы в $Z$, которых нет в $N$, то $N$ является строгим (или собственным) подмножеством $Z$. Математически это записывается в виде $N \subset Z$.

На диаграммах Эйлера отношение, при котором одно множество является подмножеством другого, изображается в виде круга, полностью расположенного внутри другого, большего круга. В данном случае круг для множества $N$ должен быть полностью внутри круга для множества $Z$.

Рассмотрим предложенные варианты диаграмм:

а) Изображает пересекающиеся множества. Это означало бы, что есть натуральные числа, не являющиеся целыми, что неверно.

б) Изображает два непересекающихся множества. Это неверно, так как все натуральные числа являются целыми.

в) Изображает два равных множества ($N = Z$). Это неверно, так как $Z$ содержит также 0 и отрицательные числа.

г) Изображает $Z$ как подмножество $N$ ($Z \subset N$). Это неверно, так как представляет обратное соотношение.

д) Изображает $N$ как подмножество $Z$ ($N \subset Z$). Это в точности соответствует установленному нами соотношению.

Следовательно, правильная диаграмма находится под буквой д.

Ответ: д

69. Какое из данных чисел является рациональным:

1) $\sqrt{2,5}$;

2) $\sqrt{3}$;

3) $\pi$;

4) $\sqrt{0,04}$?

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Корень квадратный из положительного рационального числа будет рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом другого рационального числа.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $\sqrt{2,5}$

Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Тогда $\sqrt{2,5} = \sqrt{\frac{5}{2}}$. Так как число $\frac{5}{2}$ не является квадратом какого-либо рационального числа (поскольку ни 5, ни 2 не являются квадратами целых чисел), то $\sqrt{2,5}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

2) $\sqrt{3}$

Число 3 не является полным квадратом целого числа. Квадратный корень из натурального числа, не являющегося полным квадратом, всегда является иррациональным числом. Следовательно, $\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Ответ: иррациональное число.

3) $\pi$

Число $\pi$ (пи) — это известная математическая константа, которая является иррациональным числом. Его десятичное представление бесконечно и непериодично ($\pi \approx 3,14159...$).

Ответ: иррациональное число.

4) $\sqrt{0,04}$

Вычислим значение данного выражения. Можно представить десятичную дробь $0,04$ в виде обыкновенной: $0,04 = \frac{4}{100}$.

Тогда $\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Число $0,2$ является конечной десятичной дробью, и его можно представить в виде дроби $\frac{2}{10}$ или, после сокращения, $\frac{1}{5}$. Так как это число можно представить в виде отношения целого числа к натуральному, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

70. Верно ли утверждение:

1) любое целое число является рациональным;

2) любое натуральное число является целым;

3) любое натуральное число является рациональным;

4) любое рациональное число является целым;

5) любое действительное число является рациональным;

6) любое иррациональное число является действительным?

1) любое целое число является рациональным;
Данное утверждение верно. По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число (или, в более общем виде, ненулевое целое число). Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $z/1$. Например, число 7 можно записать как $7/1$, а число -23 — как $-23/1$. Поскольку числитель является целым числом, а знаменатель (1) — натуральным, то любое целое число является рациональным. Множество целых чисел ($Z$) является подмножеством множества рациональных чисел ($Q$).
Ответ: Да.

2) любое натуральное число является целым;
Данное утверждение верно. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ (числа, используемые при счете) является подмножеством множества целых чисел $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, чисел, им противоположных, и нуля. Следовательно, каждое натуральное число по определению является целым.
Ответ: Да.

3) любое натуральное число является рациональным;
Данное утверждение верно. Это следует из двух предыдущих пунктов: каждое натуральное число является целым (пункт 2), а каждое целое число является рациональным (пункт 1). Таким образом, любое натуральное число является и рациональным. Также можно доказать напрямую: любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби $k/1$, что полностью соответствует определению рационального числа.
Ответ: Да.

4) любое рациональное число является целым;
Данное утверждение неверно. Это обратное утверждение к пункту 1, и оно ложно. Рациональное число — это любая дробь $m/n$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное. Такое число будет целым только в том случае, если числитель $m$ делится на знаменатель $n$ без остатка. Однако существует бесконечно много рациональных чисел, которые не являются целыми. Например, число $1/2$ (или 0,5) является рациональным, но не является целым. Другие примеры: $3/4$, $-5/2$.
Ответ: Нет.

5) любое действительное число является рациональным;
Данное утверждение неверно. Множество действительных (или вещественных) чисел ($R$) состоит из объединения множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел ($I$). Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примерами таких чисел являются $\pi \approx 3,14159...$ или $\sqrt{2} \approx 1,41421...$. Поскольку существуют действительные числа, которые не являются рациональными (а именно, все иррациональные числа), утверждение ложно.
Ответ: Нет.

6) любое иррациональное число является действительным?
Данное утверждение верно. По определению, множество действительных чисел ($R$) является объединением множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел ($I$). Это означает, что иррациональные числа — это одна из двух составных частей множества действительных чисел. Следовательно, любое иррациональное число по определению принадлежит множеству действительных чисел. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($I \subset R$).
Ответ: Да.