Номер 68, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Множества. Операции над миножествами - номер 68, страница 215.

Учебник.

68. Укажите диаграмму Эйлера (рис. 1), на которой правильно изображено соотношение между множествами $N$ и $Z$.

Рис. 1

а
$N$ $Z$

б
$N$ $Z$

в
$N=Z$

г
$N$ $Z$

д
$Z$ $N$

Решение 2.

Для определения правильной диаграммы Эйлера необходимо установить соотношение между множеством натуральных чисел $N$ и множеством целых чисел $Z$.

Множество натуральных чисел $N$ — это множество чисел, возникающих естественным образом при счете. В зависимости от соглашения, оно может включать или не включать ноль. В стандартной российской школьной программе натуральные числа — это $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Множество целых чисел $Z$ — это расширение множества натуральных чисел, которое включает натуральные числа, ноль и отрицательные целые числа: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Сравнивая эти два множества, можно сделать следующие выводы:

1. Каждое натуральное число является целым числом. Например, число 7 принадлежит как множеству $N$, так и множеству $Z$.

2. Существуют целые числа, которые не являются натуральными. Это число 0 и все отрицательные целые числа (например, -1, -15).

Из этого следует, что множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$. Поскольку есть элементы в $Z$, которых нет в $N$, то $N$ является строгим (или собственным) подмножеством $Z$. Математически это записывается в виде $N \subset Z$.

На диаграммах Эйлера отношение, при котором одно множество является подмножеством другого, изображается в виде круга, полностью расположенного внутри другого, большего круга. В данном случае круг для множества $N$ должен быть полностью внутри круга для множества $Z$.

Рассмотрим предложенные варианты диаграмм:

а) Изображает пересекающиеся множества. Это означало бы, что есть натуральные числа, не являющиеся целыми, что неверно.

б) Изображает два непересекающихся множества. Это неверно, так как все натуральные числа являются целыми.

в) Изображает два равных множества ($N = Z$). Это неверно, так как $Z$ содержит также 0 и отрицательные числа.

г) Изображает $Z$ как подмножество $N$ ($Z \subset N$). Это неверно, так как представляет обратное соотношение.

д) Изображает $N$ как подмножество $Z$ ($N \subset Z$). Это в точности соответствует установленному нами соотношению.

Следовательно, правильная диаграмма находится под буквой д.

Ответ: д