Номер 72, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Множества. Операции над миножествами. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 72, страница 216.

72. Верно ли равенство:

1) $A \cup \emptyset = A$;

2) $A \cap \emptyset = A$;

3) $A \cup \emptyset = \emptyset$;

4) $A \cap \emptyset = \emptyset$?

1) $A \cup \varnothing = A$

Объединение множества $A$ и пустого множества $\varnothing$ (обозначается $A \cup \varnothing$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству $A$ или пустому множеству $\varnothing$. Поскольку в пустом множестве нет элементов, в результат войдут только элементы из множества $A$. Таким образом, равенство $A \cup \varnothing = A$ является тождеством и верно для любого множества $A$.

Ответ: верно.

2) $A \cap \varnothing = A$

Пересечение множества $A$ и пустого множества $\varnothing$ (обозначается $A \cap \varnothing$) — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и пустому множеству. Так как в пустом множестве нет элементов, то не существует и общих элементов. Следовательно, пересечение $A \cap \varnothing$ всегда равно пустому множеству $\varnothing$. Равенство $A \cap \varnothing = A$ будет верным только в частном случае, когда само множество $A$ является пустым ($A = \varnothing$). В общем случае оно неверно.

Ответ: неверно (верно только при $A = \varnothing$).

3) $A \cup \varnothing = \varnothing$

Как было показано в пункте 1, объединение множества $A$ с пустым множеством всегда равно самому множеству $A$, то есть $A \cup \varnothing = A$. Равенство $A \cup \varnothing = \varnothing$ будет верным только в том случае, если $A = \varnothing$. В общем случае, если множество $A$ не пустое, данное равенство неверно.

Ответ: неверно (верно только при $A = \varnothing$).

4) $A \cap \varnothing = \varnothing$

Пересечение множества $A$ с пустым множеством $\varnothing$ — это множество, которое включает в себя все элементы, общие для $A$ и $\varnothing$. Поскольку у пустого множества нет элементов, не может быть и общих элементов. Следовательно, результатом пересечения всегда является пустое множество. Равенство $A \cap \varnothing = \varnothing$ является тождеством и верно для любого множества $A$.

Ответ: верно.