Номер 136, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Элементы статистики и теории вероятности. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 136, страница 222.

136. Из чисел 1 и 2 игрок наугад выбирает одно. Затем он бросает игральный кубик один раз, если выбрано число 1, и два раза, если выбрано число 2. Какова вероятность того, что на кубике выпадет хотя бы одна шестёрка?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Весь процесс можно разделить на два этапа: выбор числа и бросок кубика. Искомое событие — «на кубике выпадет хотя бы одна шестёрка».

Введём следующие события:

• $H_1$ — событие, состоящее в том, что игрок выбрал число 1.
• $H_2$ — событие, состоящее в том, что игрок выбрал число 2.
• $A$ — событие, состоящее в том, что на кубике выпадет хотя бы одна шестёрка.

По условию, выбор числа 1 или 2 равновероятен, поэтому вероятности этих гипотез равны:

$P(H_1) = \frac{1}{2}$

$P(H_2) = \frac{1}{2}$

Теперь найдём условные вероятности события $A$ при каждой из гипотез.

1. Если выбрано число 1 (гипотеза $H_1$)

Игрок бросает кубик один раз. Вероятность выпадения шестёрки при одном броске стандартного шестигранного кубика равна $1/6$.

Следовательно, условная вероятность события $A$ при гипотезе $H_1$ равна:

$P(A|H_1) = \frac{1}{6}$

2. Если выбрано число 2 (гипотеза $H_2$)

Игрок бросает кубик два раза. Найдём вероятность того, что выпадет хотя бы одна шестёрка. Проще вычислить вероятность противоположного события $ \bar{A} $ — «ни разу не выпала шестёрка».

Вероятность того, что при одном броске не выпадет шестёрка, равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Поскольку броски независимы, вероятность того, что шестёрка не выпадет ни в первом, ни во втором броске, равна произведению вероятностей:

$P(\bar{A}|H_2) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

Тогда вероятность того, что выпадет хотя бы одна шестёрка (событие $A$), равна:

$P(A|H_2) = 1 - P(\bar{A}|H_2) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

3. Вычисление полной вероятности

Теперь мы можем найти полную вероятность события $A$ по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2)$

Подставим найденные значения:

$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{11}{36} = \frac{1}{12} + \frac{11}{72}$

Приведём дроби к общему знаменателю 72:

$\frac{1}{12} = \frac{1 \times 6}{12 \times 6} = \frac{6}{72}$

Теперь сложим дроби:

$P(A) = \frac{6}{72} + \frac{11}{72} = \frac{17}{72}$

Ответ: $\frac{17}{72}$