Номер 137, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 137, страница 222.

Учебник.

137. Докажите, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых многочлены $5x^2 - 8xy - 3y^2$ и $-4x^2 + 8xy + 5y^2$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

Решение 2.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют такие значения x и y, при которых оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения. Это означает, что одновременно должны выполняться два неравенства:

1) $5x^2 - 8xy - 3y^2 < 0$

2) $-4x^2 + 8xy + 5y^2 < 0$

Если два выражения отрицательны, то их сумма также должна быть отрицательной. Сложим левые части этих двух неравенств:

$(5x^2 - 8xy - 3y^2) + (-4x^2 + 8xy + 5y^2) < 0$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части полученного неравенства:

$5x^2 - 4x^2 - 8xy + 8xy - 3y^2 + 5y^2 < 0$

$x^2 + 2y^2 < 0$

Итак, из нашего первоначального предположения следует, что выражение $x^2 + 2y^2$ должно быть строго отрицательным.

Однако рассмотрим свойства этого выражения. Для любых действительных чисел x и y:

• $x^2$ является квадратом числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.
• Аналогично, $y^2 \ge 0$, а значит и $2y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($x^2$ и $2y^2$) также всегда является неотрицательной величиной:

$x^2 + 2y^2 \ge 0$

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, из нашего предположения следует, что $x^2 + 2y^2 < 0$, а с другой стороны, по определению, $x^2 + 2y^2 \ge 0$. Одно и то же выражение не может быть одновременно и отрицательным, и неотрицательным.

Следовательно, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Не существует таких значений x и y, при которых многочлены $5x^2 - 8xy - 3y^2$ и $-4x^2 + 8xy + 5y^2$ одновременно принимали бы отрицательные значения.