Страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

193. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = (x - 3)^2, \\ xy = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + x = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y = 1, \\ x^2 + y = 4x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 8, \\ xy = 2. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = (x-3)^2, \\ xy = 4. \end{cases} $

Первое уравнение $y = (x-3)^2$ задает параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$. Парабола расположена в верхней полуплоскости, так как $y \ge 0$.

Второе уравнение $xy = 4$ можно записать как $y = \frac{4}{x}$. Это уравнение задает гиперболу с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптотами гиперболы являются оси координат.

Поскольку парабола находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), она может пересекаться только с той ветвью гиперболы, которая расположена в I четверти ($x > 0, y > 0$). Построим эскизы графиков. Парабола проходит через точки $(3,0)$, $(4,1)$, $(2,1)$, $(1,4)$. Гипербола проходит через точки $(1,4)$, $(2,2)$, $(4,1)$. Из этого видно, что графики пересекаются в точках $(1,4)$ и $(4,1)$. Чтобы определить характер пересечения, можно сравнить наклоны касательных в этих точках (найти производные). Для параболы $y = (x-3)^2$, производная $y' = 2(x-3)$. Для гиперболы $y = \frac{4}{x}$, производная $y' = -\frac{4}{x^2}$. В точке $x=1$: $y'_{параболы} = 2(1-3) = -4$ и $y'_{гиперболы} = -\frac{4}{1^2} = -4$. Так как производные в точке $x=1$ равны, графики в точке $(1,4)$ касаются. Это одна общая точка. В точке $x=4$: $y'_{параболы} = 2(4-3) = 2$ и $y'_{гиперболы} = -\frac{4}{4^2} = -\frac{1}{4}$. Производные не равны, значит в точке $(4,1)$ графики пересекаются. Это вторая общая точка. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + x = 3. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение $y + x = 3$ можно записать как $y = -x + 3$. Это уравнение задает прямую.

Чтобы определить количество решений системы, найдем количество точек пересечения окружности и прямой. Для этого можно найти расстояние от центра окружности до прямой и сравнить его с радиусом. Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. В нашем случае центр окружности — точка $(0, 0)$, а уравнение прямой — $x + y - 3 = 0$. $d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12$. Радиус окружности $r=2$. Так как расстояние от центра окружности до прямой ($d \approx 2.12$) больше радиуса ($r=2$), прямая не пересекает окружность. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0.

3)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y = 1, \\ x^2 + y = 4x. \end{cases} $

Выразим $y$ из обоих уравнений, чтобы определить тип графиков: 1) $y = x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -1)$. 2) $y = -x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину, выделив полный квадрат: $y = -(x^2 - 4x) = -( (x^2 - 4x + 4) - 4 ) = -(x-2)^2 + 4$. Вершина находится в точке $(2, 4)$.

Графиком первого уравнения является парабола, открывающаяся вверх, а второго — парабола, открывающаяся вниз. Такие параболы обязательно пересекутся. Чтобы найти количество точек пересечения, приравняем выражения для $y$: $x^2 - 1 = -x^2 + 4x$ $2x^2 - 4x - 1 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество его действительных корней определит количество точек пересечения. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$. Поскольку $D = 24 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ будет соответствовать одно значение $y$. Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

4)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 8, \\ xy = 2. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 8$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$.

Второе уравнение $xy = 2$ можно записать как $y = \frac{2}{x}$. Это уравнение задает гиперболу с ветвями в I и III координатных четвертях.

Обе кривые симметричны относительно начала координат. Рассмотрим пересечение в I четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Минимальное расстояние от начала координат до точек гиперболы $y = \frac{k}{x}$ достигается на прямой $y=x$. Для нашей гиперболы в этой точке $x \cdot x = 2$, то есть $x^2 = 2$, $x=\sqrt{2}$. Точка ближайшего подхода к центру — $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Расстояние от начала координат до этой точки равно $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Радиус окружности $r = \sqrt{8} \approx 2.83$. Так как минимальное расстояние от гиперболы до центра $(2)$ меньше радиуса окружности $(\sqrt{8})$, ветвь гиперболы в I четверти пересекает окружность. Из-за выпуклости обеих кривых, они пересекутся в двух точках в этой четверти. Аналогично, из-за симметрии относительно начала координат, ветвь гиперболы в III четверти также пересечет окружность в двух точках. Общее количество точек пересечения — четыре.

Ответ: 4.

194. При каких значениях $a$ система уравнений$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 16, \\x - y = a.\end{cases}$$

1) имеет единственное решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Для решения данной задачи рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 16 \\x - y = a\end{cases}$$

Эта система описывает пересечение графиков двух уравнений на координатной плоскости. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{16}=4$. Второе уравнение, $x - y = a$, которое можно переписать как $y = x - a$, задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и прямой.

Чтобы найти количество решений, воспользуемся алгебраическим методом. Выразим одну переменную из второго уравнения и подставим в первое.

Из уравнения $x - y = a$ следует, что $x = y + a$.

Подставим это выражение в уравнение окружности:

$(y+a)^2 + y^2 = 16$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 16$

$2y^2 + 2ay + (a^2 - 16) = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения (и, следовательно, исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$. Найдем дискриминант:

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 16) = 4a^2 - 8(a^2 - 16) = 4a^2 - 8a^2 + 128 = 128 - 4a^2$.

Теперь проанализируем количество решений для каждого случая.

1) имеет единственное решение;

Система имеет единственное решение, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит при условии, что дискриминант равен нулю ($D=0$).

$128 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 128$

$a^2 = 32$

$a = \pm\sqrt{32} = \pm\sqrt{16 \cdot 2} = \pm 4\sqrt{2}$.

Геометрически это означает, что прямая касается окружности.

Ответ: при $a = -4\sqrt{2}$ и $a = 4\sqrt{2}$.

2) имеет два решения;

Система имеет два различных решения, когда квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит при условии, что дискриминант больше нуля ($D > 0$).

$128 - 4a^2 > 0$

$128 > 4a^2$

$32 > a^2$

$a^2 < 32$

Решением этого неравенства является интервал $-\sqrt{32} < a < \sqrt{32}$, то есть $-4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2}$.

Геометрически это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: при $a \in (-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})$.

3) не имеет решений?

Система не имеет решений, когда квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит при условии, что дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

$128 - 4a^2 < 0$

$128 < 4a^2$

$32 < a^2$

$a^2 > 32$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $a < -\sqrt{32}$ или $a > \sqrt{32}$, то есть $a < -4\sqrt{2}$ или $a > 4\sqrt{2}$.

Геометрически это означает, что у прямой и окружности нет общих точек.

Ответ: при $a \in (-\infty; -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}; \infty)$.

195. Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |x| = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a + |x|; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ xy = 8? \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |x| = 2; \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x=2$ или $x=-2$. В обоих случаях $x^2 = (\pm 2)^2 = 4$.

Подставим значение $x^2=4$ в первое уравнение системы:

$4 + y^2 = a$

$y^2 = a - 4$

Количество решений системы зависит от количества действительных корней уравнения для $y$, которое, в свою очередь, определяется знаком выражения $a - 4$.

• Если $a - 4 < 0$, то есть $a < 4$, уравнение $y^2 = a - 4$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у системы нет решений.

• Если $a - 4 = 0$, то есть $a = 4$, уравнение $y^2 = 0$ имеет один корень $y = 0$. Так как у нас есть два возможных значения для $x$ ($2$ и $-2$), система имеет два решения: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

• Если $a - 4 > 0$, то есть $a > 4$, уравнение $y^2 = a - 4$ имеет два действительных корня: $y = \sqrt{a - 4}$ и $y = -\sqrt{a - 4}$. Для каждого из двух значений $x$ ($2$ и $-2$) существует два значения $y$. Таким образом, система имеет четыре решения: $(2, \sqrt{a-4})$, $(2, -\sqrt{a-4})$, $(-2, \sqrt{a-4})$, $(-2, -\sqrt{a-4})$.

Ответ: при $a < 4$ решений нет; при $a = 4$ – 2 решения; при $a > 4$ – 4 решения.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a + |x|; \end{cases} $

Геометрически первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Второе уравнение $y = a + |x|$ задает график, полученный сдвигом графика $y=|x|$ на $a$ единиц по вертикали. Это "угол" с вершиной в точке $(0, a)$.

Для аналитического решения подставим второе уравнение в первое. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$, учитывая, что $x^2 = |x|^2=t^2$:

$t^2 + (a + t)^2 = 9$

$t^2 + a^2 + 2at + t^2 - 9 = 0$

$2t^2 + 2at + (a^2 - 9) = 0$

Найдём количество неотрицательных корней этого квадратного уравнения. Дискриминант: $D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2 = 4(18 - a^2)$.

Проанализируем количество решений в зависимости от значения $a$:

• Если $D < 0$, то есть $a^2 > 18 \implies |a| > 3\sqrt{2}$. Действительных корней для $t$ нет, значит и у системы решений нет. Таким образом, при $a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$ решений нет.

• Если $D = 0$, то есть $a = \pm 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет один корень $t = -a/2$. Если $a = 3\sqrt{2}$, то $t = -3\sqrt{2}/2 < 0$. Не подходит. Решений нет. Если $a = -3\sqrt{2}$, то $t = 3\sqrt{2}/2 > 0$. Один положительный корень для $t$ дает два решения для $x$ ($x = \pm t$). Система имеет 2 решения.

• Если $D > 0$, то есть $|a| < 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет два действительных корня. Их знаки можно определить по теореме Виета: $t_1+t_2 = -a$, $t_1 t_2 = (a^2-9)/2$.

  • При $3 < a < 3\sqrt{2}$: $t_1+t_2 < 0$ и $t_1 t_2 > 0$, оба корня отрицательные. Решений нет.
  • При $a=3$: корни $t=0, t=-3$. Подходит $t=0$, что дает $x=0$. 1 решение.
  • При $-3 < a < 3$: $t_1 t_2 < 0$, один корень положительный, другой отрицательный. Один подходящий корень $t > 0$ дает 2 решения.
  • При $a=-3$: корни $t=0, t=3$. Оба подходят. $t=0$ дает 1 решение, $t=3$ дает 2 решения. Всего 3 решения.
  • При $-3\sqrt{2} < a < -3$: $t_1+t_2 > 0$ и $t_1 t_2 > 0$, оба корня положительные. Каждый из двух корней $t$ дает по 2 решения. Всего 4 решения.

Суммируя все случаи, получаем:

Ответ: при $a < -3\sqrt{2}$ или $a > 3$ решений нет; при $a = 3$ – 1 решение; при $a = -3\sqrt{2}$ или $-3 < a < 3$ – 2 решения; при $a = -3$ – 3 решения; при $-3\sqrt{2} < a < -3$ – 4 решения.

3)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ xy = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения, $y = 8/x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (8/x)^2 = a^2$

$x^2 + 64/x^2 = a^2$

Умножим обе части на $x^2$ (так как $x \ne 0$):

$x^4 + 64 = a^2 x^2$

$x^4 - a^2 x^2 + 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$.

$t^2 - a^2 t + 64 = 0$

Количество решений исходной системы зависит от количества положительных корней этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = a^4 - 256$.

• Если $D < 0$, то есть $a^4 - 256 < 0 \implies a^4 < 256 \implies |a| < 4$. Уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.

• Если $D = 0$, то есть $a^4 - 256 = 0 \implies |a| = 4$. Уравнение имеет один корень $t = a^2/2 = 16/2 = 8$. Так как $t > 0$, это дает $x^2 = 8$, откуда $x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Система имеет 2 решения.

• Если $D > 0$, то есть $a^4 - 256 > 0 \implies |a| > 4$. Уравнение для $t$ имеет два различных действительных корня. По теореме Виета, их сумма $t_1+t_2 = a^2 > 0$ и произведение $t_1 t_2 = 64 > 0$. Следовательно, оба корня положительны. Каждый из двух положительных корней для $t$ дает по два значения $x$. Таким образом, система имеет $2 \times 2 = 4$ решения.

Ответ: при $|a| < 4$ (то есть $-4 < a < 4$) решений нет; при $|a| = 4$ (то есть $a = \pm 4$) – 2 решения; при $|a| > 4$ (то есть $a > 4$ или $a < -4$) – 4 решения.

196. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) $(a+8)(a-7) > (a+10)(a-9);$

2) $(a+6)^2 - 3 < (a+5)(a+7).$

1)

Для доказательства неравенства $(a+8)(a-7) > (a+10)(a-9)$ необходимо выполнить тождественные преобразования, которые приведут к верному числовому неравенству, не зависящему от переменной $a$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:
$(a+8)(a-7) = a^2 - 7a + 8a - 56 = a^2 + a - 56$.

Теперь раскроем скобки в правой части неравенства:
$(a+10)(a-9) = a^2 - 9a + 10a - 90 = a^2 + a - 90$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное неравенство:
$a^2 + a - 56 > a^2 + a - 90$.

Теперь перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные:
$a^2 + a - 56 - (a^2 + a - 90) > 0$
$a^2 + a - 56 - a^2 - a + 90 > 0$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(a^2 - a^2) + (a - a) + (90 - 56) > 0$
$0 + 0 + 34 > 0$
$34 > 0$.

Мы получили верное числовое неравенство $34 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Для доказательства неравенства $(a+6)^2 - 3 < (a+5)(a+7)$ выполним аналогичные преобразования.

Преобразуем левую часть неравенства, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$(a+6)^2 - 3 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2) - 3 = a^2 + 12a + 36 - 3 = a^2 + 12a + 33$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:
$(a+5)(a+7) = a^2 + 7a + 5a + 35 = a^2 + 12a + 35$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$a^2 + 12a + 33 < a^2 + 12a + 35$.

Вычтем из обеих частей неравенства одинаковое выражение $a^2 + 12a$:
$33 < 35$.

Мы получили верное числовое неравенство $33 < 35$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

197. Докажите, что:

1) $a(a - 8) > 2(a - 13)$ при всех действительных значениях $a$;

2) $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \ge 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$;

3) $x^2 + 10xy + 26y^2 - 12y + 40 > 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$;

4) $ab(a + b) \le a^3 + b^3$, если $a < 0$, $b < 0$;

5) $m^3 + 2m^2 - 4m - 8 > 0$, если $m > 2$;

6) $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2$ при всех действительных значениях $a$.

1) Требуется доказать, что $a(a - 8) > 2(a - 13)$ при всех действительных значениях $a$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$a^2 - 8a > 2a - 26$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - 8a - 2a + 26 > 0$
$a^2 - 10a + 26 > 0$.
Теперь преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:
$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 26 = (a - 5)^2 - 25 + 26 = (a - 5)^2 + 1$.
Получили неравенство $(a - 5)^2 + 1 > 0$.
Выражение $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(a - 5)^2 \ge 0$.
Следовательно, $(a - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $1 > 0$, то и выражение $(a - 5)^2 + 1$ всегда больше нуля.
Таким образом, исходное неравенство верно при всех действительных значениях $a$.
Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \ge 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$, и выделим полные квадраты:
$(x^2 + 6x) + (4y^2 + 4y) + 10$.
Для группы с $x$: $x^2 + 6x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (x + 3)^2 - 9$.
Для группы с $y$: $4y^2 + 4y = (2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2$. Добавим и вычтем 1:
$4y^2 + 4y = (4y^2 + 4y + 1) - 1 = (2y + 1)^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$((x + 3)^2 - 9) + ((2y + 1)^2 - 1) + 10 \ge 0$.
Упростим выражение:
$(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 - 9 - 1 + 10 \ge 0$
$(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 \ge 0$.
Выражение $(x + 3)^2$ является квадратом действительного числа и всегда неотрицательно: $(x + 3)^2 \ge 0$.
Аналогично, $(2y + 1)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна.
Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 + (2y + 1)^2 \ge 0$ верно для любых действительных $x$ и $y$.
Ответ: Доказано.

3) Требуется доказать, что $x^2 + 10xy + 26y^2 - 12y + 40 > 0$ при всех действительных значениях $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полный квадрат относительно переменной $x$:
$(x^2 + 10xy) + 26y^2 - 12y + 40$.
Представим $10xy$ как $2 \cdot x \cdot (5y)$. Тогда для полного квадрата $(x + 5y)^2$ не хватает слагаемого $(5y)^2 = 25y^2$.
Представим $26y^2$ как $25y^2 + y^2$:
$(x^2 + 10xy + 25y^2) + y^2 - 12y + 40$.
Теперь первая группа слагаемых является полным квадратом:
$(x + 5y)^2 + y^2 - 12y + 40$.
Выделим полный квадрат для оставшихся слагаемых с $y$:
$y^2 - 12y + 40 = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2) - 6^2 + 40 = (y - 6)^2 - 36 + 40 = (y - 6)^2 + 4$.
Подставим это обратно в выражение:
$(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 + 4$.
Нам нужно доказать, что $(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 + 4 > 0$.
Выражение $(x + 5y)^2$ является квадратом и, следовательно, $(x + 5y)^2 \ge 0$.
Выражение $(y - 6)^2$ также является квадратом и $(y - 6)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел неотрицательна: $(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 \ge 0$.
Прибавив 4, получим: $(x + 5y)^2 + (y - 6)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, то и все выражение строго больше нуля.
Ответ: Доказано.

4) Требуется доказать, что $ab(a + b) \le a^3 + b^3$, если $a < 0, b < 0$.
Перенесем все члены в одну сторону: $a^3 + b^3 - ab(a + b) \ge 0$.
Разложим левую часть на множители. Используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и вынося общий множитель $(a+b)$, получим:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) = (a + b)(a^2 - ab + b^2 - ab) = (a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(a - b)^2$.
Неравенство принимает вид: $(a + b)(a - b)^2 \ge 0$.
Проанализируем знаки множителей при условиях $a < 0$ и $b < 0$:
1. Множитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен: $(a - b)^2 \ge 0$.
2. Множитель $(a + b)$ является суммой двух отрицательных чисел, поэтому он всегда отрицателен: $a + b < 0$.
Произведение отрицательного числа $(a+b)$ и неотрицательного числа $(a-b)^2$ будет неположительным, то есть $(a + b)(a - b)^2 \le 0$.
Это означает, что $a^3 + b^3 - ab(a + b) \le 0$, что эквивалентно $a^3 + b^3 \le ab(a + b)$.
Данный результат противоречит исходному неравенству. Например, при $a = -1, b = -2$:
$ab(a+b) = (-1)(-2)(-1-2) = -6$.
$a^3+b^3 = (-1)^3+(-2)^3 = -9$.
Неравенство $-6 \le -9$ является ложным.
Следовательно, утверждение в задаче содержит ошибку.
Ответ: Утверждение в задаче неверно. Доказано, что при $a < 0, b < 0$ выполняется обратное неравенство: $ab(a + b) \ge a^3 + b^3$.

5) Требуется доказать, что $m^3 + 2m^2 - 4m - 8 > 0$, если $m > 2$.
Разложим многочлен в левой части на множители методом группировки:
$(m^3 + 2m^2) - (4m + 8) = m^2(m + 2) - 4(m + 2) = (m^2 - 4)(m + 2)$.
Применим формулу разности квадратов к первому множителю $m^2 - 4 = (m - 2)(m + 2)$:
$(m - 2)(m + 2)(m + 2) = (m - 2)(m + 2)^2$.
Итак, нам нужно доказать, что $(m - 2)(m + 2)^2 > 0$ при $m > 2$.
Проанализируем знаки множителей:
1. Если $m > 2$, то множитель $m - 2$ строго положителен: $m - 2 > 0$.
2. Если $m > 2$, то $m + 2 > 4$, значит, $m+2$ положителен, и его квадрат $(m + 2)^2$ также строго положителен.
Произведение двух положительных чисел ($(m-2)$ и $(m+2)^2$) всегда положительно.
Следовательно, $(m - 2)(m + 2)^2 > 0$ при $m > 2$.
Ответ: Доказано.

6) Требуется доказать, что $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2$ при всех действительных значениях $a$.
Знаменатель $\sqrt{a^2 + 4}$ всегда положителен (так как $a^2 \ge 0 \implies a^2 + 4 \ge 4$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $\sqrt{a^2 + 4}$, не меняя знака неравенства:
$a^2 + 5 > 2\sqrt{a^2 + 4}$.
Обе части этого неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:
$(a^2 + 5)^2 > (2\sqrt{a^2 + 4})^2$
$a^4 + 10a^2 + 25 > 4(a^2 + 4)$
$a^4 + 10a^2 + 25 > 4a^2 + 16$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^4 + 10a^2 - 4a^2 + 25 - 16 > 0$
$a^4 + 6a^2 + 9 > 0$.
Левая часть является полным квадратом выражения $(a^2 + 3)$:
$(a^2 + 3)^2 > 0$.
Для любого действительного числа $a$, $a^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + 3 \ge 3$, то есть выражение $a^2+3$ всегда строго положительно.
Квадрат строго положительного числа также строго положителен, поэтому $(a^2 + 3)^2 > 0$ всегда верно.
Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

198. Дано: $-4 < x < 2$. Оцените значение выражения:

1) $3x-1$

2) $8-5x$

1) 3x - 1;

Для оценки значения выражения $3x - 1$, мы будем преобразовывать данное неравенство $-4 < x < 2$ шаг за шагом.

1. Умножим все части неравенства на 3. Поскольку 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot (-4) < 3 \cdot x < 3 \cdot 2$

$-12 < 3x < 6$

2. Теперь вычтем 1 из всех частей полученного неравенства. Вычитание числа не меняет знаки неравенства:

$-12 - 1 < 3x - 1 < 6 - 1$

$-13 < 3x - 1 < 5$

Таким образом, значение выражения $3x - 1$ находится в интервале от -13 до 5.

Ответ: $-13 < 3x - 1 < 5$.

2) 8 - 5x.

Для оценки значения выражения $8 - 5x$, мы также начнем с исходного неравенства $-4 < x < 2$.

1. Сначала умножим все части неравенства на -5. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-5 \cdot (-4) > -5 \cdot x > -5 \cdot 2$

$20 > -5x > -10$

2. Для удобства можно переписать это неравенство в более привычном виде, расположив числа в порядке возрастания:

$-10 < -5x < 20$

3. Теперь прибавим 8 ко всем частям неравенства. Сложение числа не влияет на знаки неравенства:

$-10 + 8 < -5x + 8 < 20 + 8$

$-2 < 8 - 5x < 28$

Таким образом, значение выражения $8 - 5x$ находится в интервале от -2 до 28.

Ответ: $-2 < 8 - 5x < 28$.

199. Дано: $2 < x < 6$. Оцените значение выражения $\frac{3}{x}$.

Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{3}{x}$, необходимо выполнить несколько последовательных шагов, исходя из данного неравенства.

Изначально нам дано двойное неравенство для переменной $x$:

$2 < x < 6$

Поскольку все части неравенства ($2$, $x$ и $6$) являются положительными числами, мы можем применить свойство, связанное с обратными величинами. Функция $y = \frac{1}{x}$ является убывающей для всех $x > 0$. Это означает, что если $a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (для положительных $a$ и $b$).

Применим это свойство к нашему неравенству $2 < x < 6$. Возьмем обратные величины от каждой части, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{6}$

Для удобства дальнейших действий, перепишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$\frac{1}{6} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Теперь нам нужно оценить выражение $\frac{3}{x}$, что эквивалентно $3 \cdot \frac{1}{x}$. Для этого умножим все части полученного неравенства на 3. Поскольку 3 — это положительное число, знаки неравенства останутся без изменений:

$3 \cdot \frac{1}{6} < 3 \cdot \frac{1}{x} < 3 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним вычисления:

$\frac{3}{6} < \frac{3}{x} < \frac{3}{2}$

Сократим дробь $\frac{3}{6}$ на 3:

$\frac{1}{2} < \frac{3}{x} < \frac{3}{2}$

Таким образом, мы получили итоговую оценку для заданного выражения.

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{3}{x} < \frac{3}{2}$.

200. Дано: $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$. Оцените значение выражения:

1) $x+y$;

2) $x-y$;

3) $xy$;

4) $\frac{x}{y}$;

5) $5x+2y$;

6) $3x-4y$.

Даны числовые неравенства $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$. На их основе оценим значения предложенных выражений.

Чтобы оценить значение суммы $x + y$, воспользуемся свойством сложения неравенств. Имеем два неравенства: $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$. Сложим их почленно:

$2 + 3 < x + y < 6 + 4$

Вычисляем суммы в левой и правой частях неравенства:

$5 < x + y < 10$

Ответ: $5 < x + y < 10$.

Для оценки разности $x - y$ представим ее в виде суммы $x + (-y)$. Сначала найдем границы для $-y$. Из неравенства $3 < y < 4$ следует, что, умножив все его части на $-1$ и изменив знаки неравенства на противоположные, мы получим $-3 > -y > -4$.

Запишем полученное неравенство в стандартном виде: $-4 < -y < -3$.

Теперь сложим почленно неравенства $2 < x < 6$ и $-4 < -y < -3$:

$2 + (-4) < x + (-y) < 6 + (-3)$

Упростив, получаем окончательную оценку:

$-2 < x - y < 3$

Ответ: $-2 < x - y < 3$.

Для оценки произведения $xy$, так как все части исходных неравенств $2 < x < 6$ и $3 < y < 4$ положительны, мы можем их почленно перемножить.

Перемножаем левые и правые части неравенств:

$2 \cdot 3 < x \cdot y < 6 \cdot 4$

Вычисляем произведения:

$6 < xy < 24$

Ответ: $6 < xy < 24$.

Для оценки частного $\frac{x}{y}$ представим его в виде произведения $x \cdot \frac{1}{y}$. Сначала найдем границы для $\frac{1}{y}$.

Из неравенства $3 < y < 4$ (все части положительны) следует, что для обратной величины $\frac{1}{y}$ знаки неравенства меняются на противоположные: $\frac{1}{3} > \frac{1}{y} > \frac{1}{4}$.

Запишем это в стандартном виде: $\frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{3}$.

Теперь перемножим почленно неравенства $2 < x < 6$ и $\frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{3}$ (все части положительны):

$2 \cdot \frac{1}{4} < x \cdot \frac{1}{y} < 6 \cdot \frac{1}{3}$

Упрощаем и получаем результат:

$\frac{1}{2} < \frac{x}{y} < 2$

Ответ: $\frac{1}{2} < \frac{x}{y} < 2$.

Для оценки выражения $5x + 2y$ сначала найдем границы для $5x$ и $2y$.

Умножим неравенство $2 < x < 6$ на 5: $5 \cdot 2 < 5x < 5 \cdot 6$, что дает $10 < 5x < 30$.

Умножим неравенство $3 < y < 4$ на 2: $2 \cdot 3 < 2y < 2 \cdot 4$, что дает $6 < 2y < 8$.

Теперь сложим полученные неравенства $10 < 5x < 30$ и $6 < 2y < 8$ почленно:

$10 + 6 < 5x + 2y < 30 + 8$

В результате получаем:

$16 < 5x + 2y < 38$

Ответ: $16 < 5x + 2y < 38$.

Для оценки выражения $3x - 4y$ найдем границы для $3x$ и $-4y$.

Умножим неравенство $2 < x < 6$ на 3, получим $6 < 3x < 18$.

Умножим неравенство $3 < y < 4$ на $-4$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются: $-4 \cdot 3 > -4y > -4 \cdot 4$, то есть $-12 > -4y > -16$. Запишем это в стандартном виде: $-16 < -4y < -12$.

Теперь сложим почленно неравенства $6 < 3x < 18$ и $-16 < -4y < -12$:

$6 + (-16) < 3x - 4y < 18 + (-12)$

Упростив выражение, получаем:

$-10 < 3x - 4y < 6$

Ответ: $-10 < 3x - 4y < 6$.

201. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями $x$ см и $y$ см, если $8 < x < 12$, $7 < y < 14$.

Пусть $m$ — это длина средней линии трапеции, а $x$ и $y$ — длины ее оснований в сантиметрах.

Формула для нахождения длины средней линии трапеции: $m = \frac{x + y}{2}$

По условию задачи, у нас есть следующие неравенства для длин оснований: $8 < x < 12$ $7 < y < 14$

Чтобы оценить значение выражения $\frac{x+y}{2}$, сначала найдем интервал для суммы $x+y$. Для этого сложим почленно данные неравенства, так как они имеют одинаковый знак (строгое неравенство): $8 + 7 < x + y < 12 + 14$

Выполнив сложение, получаем: $15 < x + y < 26$

Теперь, чтобы найти оценку для средней линии $m$, разделим все части полученного двойного неравенства на 2: $\frac{15}{2} < \frac{x + y}{2} < \frac{26}{2}$

Вычисляем значения: $7,5 < m < 13$

Следовательно, длина средней линии трапеции находится в интервале от 7,5 см до 13 см.

Ответ: Длина средней линии больше 7,5 см и меньше 13 см, то есть $7,5 < m < 13$.