Страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

247. Упростите выражение:

1) $\sqrt{45} - \sqrt{125} + \sqrt{405}$;

2) $(3\sqrt{6} - 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} - \sqrt{108}$;

3) $(\sqrt{99} - \sqrt{44})\sqrt{11}$;

4) $(5 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})$;

5) $(\sqrt{14} - \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11})$;

6) $(2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2$.

1) $\sqrt{45} - \sqrt{125} + \sqrt{405}$

Чтобы упростить выражение, необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$

$\sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = \sqrt{9^2 \cdot 5} = 9\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение и выполним действия:

$3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = (3 - 5 + 9)\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$

Ответ: $7\sqrt{5}$

2) $(3\sqrt{6} - 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} - \sqrt{108}$

Сначала упростим корни внутри скобок и последний член выражения:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Подставим эти значения в выражение:

$(3\sqrt{6} - 5(2\sqrt{2}) + 7(4\sqrt{2}))\sqrt{2} - 6\sqrt{3} = (3\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 28\sqrt{2})\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(3\sqrt{6} + 18\sqrt{2})\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt{2}$:

$3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + 18\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 6\sqrt{3} = 3\sqrt{12} + 18 \cdot 2 - 6\sqrt{3}$

Упростим $\sqrt{12}$:

$3\sqrt{4 \cdot 3} + 36 - 6\sqrt{3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} + 36 - 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 36 - 6\sqrt{3}$

Сократим подобные члены:

$36$

Ответ: $36$

3) $(\sqrt{99} - \sqrt{44})\sqrt{11}$

Упростим корни в скобках:

$\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}$

$\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(3\sqrt{11} - 2\sqrt{11})\sqrt{11}$

Выполним вычитание в скобках:

$(1\sqrt{11})\sqrt{11} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{11}$

Вычислим произведение:

$(\sqrt{11})^2 = 11$

Ответ: $11$

4) $(5 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})$

Для раскрытия скобок воспользуемся правилом умножения двух двучленов (методом FOIL):

$5 \cdot 3 + 5 \cdot 2\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7}$

Выполним умножение в каждом члене:

$15 + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 2(\sqrt{7})^2 = 15 + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 2 \cdot 7 = 15 + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 14$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(15 - 14) + (10\sqrt{7} - 3\sqrt{7}) = 1 + 7\sqrt{7}$

Ответ: $1 + 7\sqrt{7}$

5) $(\sqrt{14} - \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11})$

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{14}$ и $b = \sqrt{11}$. Применим формулу:

$(\sqrt{14})^2 - (\sqrt{11})^2$

Возведем в квадрат:

$14 - 11 = 3$

Ответ: $3$

6) $(2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2$

Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

$(2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

$a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$2ab = 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 12\sqrt{10}$

$b^2 = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Теперь сложим все полученные части:

$20 + 12\sqrt{10} + 18$

Сложим числовые члены:

$38 + 12\sqrt{10}$

Ответ: $38 + 12\sqrt{10}$

248. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1};$

2) $\frac{a - 3\sqrt{a}}{a - 9};$

3) $\frac{7 - \sqrt{7}}{\sqrt{7}};$

4) $\frac{\sqrt{21} + 3}{7 + \sqrt{21}};$

5) $\frac{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}{m + n};$

6) $\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}};$

7) $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2};$

8) $\frac{a + \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a} + \sqrt[4]{a}}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}$, представим знаменатель в виде разности квадратов. Зная, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $1 = 1^2$, мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатель $x - 1$ раскладывается как $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

Теперь мы можем сократить общий множитель $(\sqrt{x} + 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \geq 0$ и $x \neq 1$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

2) Для сокращения дроби $\frac{a - 3\sqrt{a}}{a - 9}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}$: $a - 3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)$.

Знаменатель является разностью квадратов: $a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.

Получаем дробь:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a} - 3)$ (при условии, что $a \geq 0$ и $a \neq 9$).

Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}$

3) В дроби $\frac{7 - \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ вынесем в числителе за скобки множитель $\sqrt{7}$.

Так как $7 = (\sqrt{7})^2$, то числитель можно записать как $\sqrt{7}(\sqrt{7} - 1)$.

Дробь принимает вид:

$\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} - 1)}{\sqrt{7}}$

Сокращаем $\sqrt{7}$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $\sqrt{7} - 1$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{21} + 3}{7 + \sqrt{21}}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $\sqrt{21} + 3 = \sqrt{7 \cdot 3} + (\sqrt{3})^2 = \sqrt{7}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

Знаменатель: $7 + \sqrt{21} = (\sqrt{7})^2 + \sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7}\sqrt{7} + \sqrt{7}\sqrt{3} = \sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

Подставляем в дробь:

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$.

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

5) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}{m + n}$ применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ к знаменателю.

Пусть $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = \sqrt[3]{n}$. Тогда $m = a^3$ и $n = b^3$.

Знаменатель $m+n$ раскладывается как $(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})((\sqrt[3]{m})^2 - \sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2) = (\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} - \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})$.

Дробь имеет вид:

$\frac{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}{(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} - \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})$ (при условии, что $m \neq -n$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{m^2} - \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}}$

6) В дроби $\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ представим знаменатель как разность квадратов.

Учитывая, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$, знаменатель можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.

Подставим в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$ (при условии, что $a,b \geq 0$ и $a \neq b$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$

7) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2}$ удобно сделать замену. Пусть $y = \sqrt[6]{x}$.

Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{y^2 - 4}{y - 2}$.

Числитель - это разность квадратов: $y^2 - 4 = (y-2)(y+2)$.

$\frac{(y-2)(y+2)}{y-2}$

Сокращаем $(y-2)$ (при $y \neq 2$, то есть $x \neq 64$). Остается $y+2$.

Выполняем обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x} + 2$

8) В дроби $\frac{a + \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a} + \sqrt[4]{a}}$ приведем все степени к одному основанию, сделав замену $y = \sqrt[4]{a}$.

Тогда $a = y^4$, $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 = y^2$ и $\sqrt[4]{a^3} = (\sqrt[4]{a})^3 = y^3$.

Исходное выражение становится: $\frac{y^4 + y^3}{y^2 + y}$.

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{y^3(y+1)}{y(y+1)}$

Сокращаем общий множитель $y(y+1)$ (при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq -1$, что для $y = \sqrt[4]{a}$ означает $a > 0$).

$\frac{y^3}{y} = y^2$.

Выполняем обратную замену $y^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$

249. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{28}{\sqrt{7}}$;

2) $\frac{4}{\sqrt[3]{2}}$;

3) $\frac{12}{\sqrt[4]{27}}$;

4) $\frac{30}{\sqrt[3]{10}}$;

5) $\frac{32}{\sqrt[5]{16}}$;

6) $\frac{a^4}{\sqrt[7]{a^4}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{28}{\sqrt{7}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{7} $. Это позволит нам получить в знаменателе целое число, так как $ \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7 $.
$ \frac{28}{\sqrt{7}} = \frac{28 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{28\sqrt{7}}{7} $
Теперь сократим полученную дробь:
$ \frac{28\sqrt{7}}{7} = 4\sqrt{7} $
Ответ: $ 4\sqrt{7} $

2) В знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt[3]{2}} $ находится корень третьей степени. Чтобы от него избавиться, нужно, чтобы подкоренное выражение стало кубом некоторого числа. Сейчас под корнем $ 2^1 $. Нам нужно получить $ 2^3 $. Для этого домножим знаменатель на $ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $. Чтобы значение дроби не изменилось, на этот же множитель нужно домножить и числитель.
$ \frac{4}{\sqrt[3]{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} $
Так как $ \sqrt[3]{8} = 2 $, получаем:
$ \frac{4\sqrt[3]{4}}{2} = 2\sqrt[3]{4} $
Ответ: $ 2\sqrt[3]{4} $

3) В знаменателе дроби $ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} $ находится корень четвертой степени. Представим $ 27 $ как $ 3^3 $. Дробь примет вид $ \frac{12}{\sqrt[4]{3^3}} $. Чтобы в знаменателе исчез корень, подкоренное выражение должно стать четвертой степенью числа. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3^{4-3}} = \sqrt[4]{3} $.
$ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} = \frac{12 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{81}} $
Так как $ \sqrt[4]{81} = 3 $, получаем:
$ \frac{12\sqrt[4]{3}}{3} = 4\sqrt[4]{3} $
Ответ: $ 4\sqrt[4]{3} $

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{30}{\sqrt[3]{10}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало кубом числа. Нам нужно получить $ \sqrt[3]{10^3} $, а у нас есть $ \sqrt[3]{10^1} $. Домножаем на $ \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100} $.
$ \frac{30}{\sqrt[3]{10}} = \frac{30 \cdot \sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100}} = \frac{30\sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{1000}} $
Так как $ \sqrt[3]{1000} = 10 $, получаем:
$ \frac{30\sqrt[3]{100}}{10} = 3\sqrt[3]{100} $
Ответ: $ 3\sqrt[3]{100} $

5) В знаменателе дроби $ \frac{32}{\sqrt[5]{16}} $ находится корень пятой степени. Представим $ 16 $ как $ 2^4 $. Дробь примет вид $ \frac{32}{\sqrt[5]{2^4}} $. Чтобы в знаменателе исчез корень, подкоренное выражение должно стать пятой степенью числа. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^{5-4}} = \sqrt[5]{2} $.
$ \frac{32}{\sqrt[5]{16}} = \frac{32 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{32\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{32}} $
Так как $ \sqrt[5]{32} = 2 $, получаем:
$ \frac{32\sqrt[5]{2}}{2} = 16\sqrt[5]{2} $
Ответ: $ 16\sqrt[5]{2} $

6) В знаменателе дроби $ \frac{a^4}{\sqrt[7]{a^4}} $ находится корень седьмой степени (предполагаем, что $ a \ne 0 $). Чтобы избавиться от корня, нужно, чтобы подкоренное выражение стало седьмой степенью переменной. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{a^{7-4}} = \sqrt[7]{a^3} $.
$ \frac{a^4}{\sqrt[7]{a^4}} = \frac{a^4 \cdot \sqrt[7]{a^3}}{\sqrt[7]{a^4} \cdot \sqrt[7]{a^3}} = \frac{a^4\sqrt[7]{a^3}}{\sqrt[7]{a^4 \cdot a^3}} = \frac{a^4\sqrt[7]{a^3}}{\sqrt[7]{a^7}} $
Так как $ \sqrt[7]{a^7} = a $, получаем:
$ \frac{a^4\sqrt[7]{a^3}}{a} = a^{4-1}\sqrt[7]{a^3} = a^3\sqrt[7]{a^3} $
Ответ: $ a^3\sqrt[7]{a^3} $

250. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{21}{\sqrt{26}-\sqrt{5}}$;

2) $\frac{14}{5+\sqrt{18}}$;

3) $\frac{8}{\sqrt[3]{3}-1}$;

4) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{21}{\sqrt{26} - \sqrt{5}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{26} - \sqrt{5}$ является $\sqrt{26} + \sqrt{5}$. При умножении в знаменателе используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
$\frac{21}{\sqrt{26} - \sqrt{5}} = \frac{21 \cdot (\sqrt{26} + \sqrt{5})}{(\sqrt{26} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{26} + \sqrt{5})} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{(\sqrt{26})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{26 - 5} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{21}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на 21 и получаем результат:
$\sqrt{26} + \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{26} + \sqrt{5}$.

2) Сначала упростим иррациональное число в знаменателе: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. Исходная дробь примет вид $\frac{14}{5 + 3\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $5 - 3\sqrt{2}$. В знаменателе снова применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
$\frac{14}{5 + 3\sqrt{2}} = \frac{14 \cdot (5 - 3\sqrt{2})}{(5 + 3\sqrt{2}) \cdot (5 - 3\sqrt{2})} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{25 - 9 \cdot 2} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{25 - 18} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{7}$.
Сократим дробь на 7:
$2(5 - 3\sqrt{2}) = 10 - 6\sqrt{2}$.
Ответ: $10 - 6\sqrt{2}$.

3) Знаменатель дроби $\frac{8}{\sqrt[3]{3} - 1}$ представляет собой разность $a - b$, где $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = 1$. Для устранения иррациональности воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $a^2 + ab + b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1$.
$\frac{8}{\sqrt[3]{3} - 1} = \frac{8 \cdot (\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3} - 1) \cdot (\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} = \frac{8(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1^3} = \frac{8(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{8(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{2}$.
Сокращаем дробь на 2:
$4(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)$.
Ответ: $4(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)$.

4) Рассмотрим знаменатель дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1}$. Если обозначить $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = 1$, то знаменатель можно представить в виде $a^2 - ab + b^2$, так как $(\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1$. Это выражение является неполным квадратом разности.
Чтобы избавиться от иррациональности, используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Домножим числитель и знаменатель на $a + b = \sqrt[3]{2} + 1$.
$\frac{1}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)}{(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1) \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{(\sqrt[3]{2})^3 + 1^3} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{2 + 1} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{2} + 1}{3}$.

251. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3}{12+5\sqrt{6}} + \frac{3}{12-5\sqrt{6}}$;

2) $(\sqrt{7+4\sqrt{3}} - \sqrt{7-4\sqrt{3}})^2$;

3) $\sqrt[3]{5-\sqrt{15}} \cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}$;

4) $\sqrt{\sqrt{5}+1} \cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{3}{12+5\sqrt{6}} + \frac{3}{12-5\sqrt{6}}$, приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель: $(12+5\sqrt{6})(12-5\sqrt{6})$. Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(12+5\sqrt{6})(12-5\sqrt{6}) = 12^2 - (5\sqrt{6})^2 = 144 - 25 \cdot 6 = 144 - 150 = -6$.
Теперь сложим дроби, домножив числитель первой дроби на $(12-5\sqrt{6})$, а второй на $(12+5\sqrt{6})$:
$\frac{3(12-5\sqrt{6}) + 3(12+5\sqrt{6})}{(12+5\sqrt{6})(12-5\sqrt{6})} = \frac{36 - 15\sqrt{6} + 36 + 15\sqrt{6}}{-6} = \frac{72}{-6} = -12$.
Ответ: -12.

2) Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{7+4\sqrt{3}} - \sqrt{7-4\sqrt{3}})^2$, используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{7+4\sqrt{3}}$ и $b = \sqrt{7-4\sqrt{3}}$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{7+4\sqrt{3}})^2 = 7+4\sqrt{3}$.
И $b^2 = (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^2 = 7-4\sqrt{3}$.
Найдем произведение $2ab$:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2 \cdot \sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
Тогда $2ab = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$.
Подставляем найденные значения в формулу $a^2 - 2ab + b^2$:
$(7+4\sqrt{3}) - 2 + (7-4\sqrt{3}) = 7 + 4\sqrt{3} - 2 + 7 - 4\sqrt{3} = 14 - 2 = 12$.
Ответ: 12.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{5-\sqrt{15}} \cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}$.
Чтобы перемножить корни, приведем их к одному показателю, равному 6. Воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$.
$\sqrt[3]{5-\sqrt{15}} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5-\sqrt{15})^2} = \sqrt[6]{(5-\sqrt{15})^2}$.
Раскроем квадрат под корнем: $(5-\sqrt{15})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 25 - 10\sqrt{15} + 15 = 40 - 10\sqrt{15}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[6]{40-10\sqrt{15}} \cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[6]{(40-10\sqrt{15})(40+10\sqrt{15})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(40-10\sqrt{15})(40+10\sqrt{15}) = 40^2 - (10\sqrt{15})^2 = 1600 - 100 \cdot 15 = 1600 - 1500 = 100$.
Получаем $\sqrt[6]{100} = \sqrt[6]{10^2} = 10^{\frac{2}{6}} = 10^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{10}$.
Ответ: $\sqrt[3]{10}$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{\sqrt{5}+1} \cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}$.
Приведем корни к одному показателю, равному 4. Воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$.
$\sqrt{\sqrt{5}+1} = \sqrt[2 \cdot 2]{(\sqrt{5}+1)^2} = \sqrt[4]{(\sqrt{5}+1)^2}$.
Раскроем квадрат под корнем: $(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6+2\sqrt{5}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[4]{6+2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[4]{(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Получаем $\sqrt[4]{16}$. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16}=2$.
Ответ: 2.

252. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$

2) $\frac{\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{ab}+b}$

3) $(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} - \frac{8\sqrt{x}}{x-4}) \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

4) $\frac{a-49}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{a+7\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+7}{a-2\sqrt{a}}$

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}} $.

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю $ \sqrt{a}(\sqrt{a}-1) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ \sqrt{a} $, а второй дроби — на $ (\sqrt{a}-1) $:

$ \frac{(\sqrt{a}-5)\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} - \frac{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(\sqrt{a}-5)\sqrt{a} - (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (\sqrt{a}-5)\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a} = a - 5\sqrt{a} $

$ (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}-1) = (\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 4 = a - 5\sqrt{a} + 4 $

Подставим полученные выражения в числитель и упростим его:

$ (a - 5\sqrt{a}) - (a - 5\sqrt{a} + 4) = a - 5\sqrt{a} - a + 5\sqrt{a} - 4 = -4 $

Раскроем скобки в знаменателе: $ \sqrt{a}(\sqrt{a}-1) = a - \sqrt{a} $.

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$ \frac{-4}{a - \sqrt{a}} $

Ответ: $ \frac{-4}{a - \sqrt{a}} $

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{ab}+b} $.

Разложим на множители знаменатели дробей, вынося общий множитель за скобки:

$ a+\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $

$ \sqrt{ab}+b = \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $

Перепишем исходное выражение с разложенными знаменателями:

$ \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

Общий знаменатель равен $ \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{(\sqrt{a}+1)\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} - \frac{(\sqrt{b}-1)\sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

Выполним вычитание в числителе:

$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1) - \sqrt{a}(\sqrt{b}-1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{b} - (\sqrt{ab}-\sqrt{a})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{b} - \sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:

$ \frac{1}{\sqrt{ab}} $

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{ab}} $

Исходное выражение: $ \left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} - \frac{8\sqrt{x}}{x-4}\right) \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} $.

Сначала упростим выражение в скобках. Используем формулу разности квадратов для знаменателя второй дроби: $ x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) $.

$ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} - \frac{8\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) $:

$ \frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} - \frac{8\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{(\sqrt{x}+2)^2 - 8\sqrt{x}}{x-4} $

Раскроем квадрат суммы в числителе и упростим: $ (\sqrt{x}+2)^2 - 8\sqrt{x} = (x + 4\sqrt{x} + 4) - 8\sqrt{x} = x - 4\sqrt{x} + 4 $.

Полученный числитель является полным квадратом разности: $ x - 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x}-2)^2 $.

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{(\sqrt{x}-2)^2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} $.

Теперь выполним умножение:

$ \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} $

Разложим числитель второй дроби на множители: $ x+2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+2) $.

Подставим и произведем сокращение:

$ \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} = \sqrt{x} $

Ответ: $ \sqrt{x} $

Исходное выражение: $ \frac{a-49}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{a+7\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+7}{a-2\sqrt{a}} $.

Выполним по действиям. Сначала умножение:

$ \frac{a-49}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{a+7\sqrt{a}} $

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй: $ a-49 = (\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7) $ и $ a+7\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+7) $.

$ \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+7)} = \frac{\sqrt{a}-7}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)} $

Теперь выполним вычитание. Разложим на множители знаменатель вычитаемой дроби: $ a-2\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-2) $.

$ \frac{\sqrt{a}-7}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}+7}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)} $

Общий знаменатель: $ \sqrt{a}(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2) = \sqrt{a}(a-4) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}-2)}{\sqrt{a}(a-4)} - \frac{(\sqrt{a}+7)(\sqrt{a}+2)}{\sqrt{a}(a-4)} $

Запишем под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(a-2\sqrt{a}-7\sqrt{a}+14) - (a+2\sqrt{a}+7\sqrt{a}+14)}{\sqrt{a}(a-4)} = \frac{(a-9\sqrt{a}+14) - (a+9\sqrt{a}+14)}{\sqrt{a}(a-4)} $

Упростим числитель:

$ a-9\sqrt{a}+14 - a-9\sqrt{a}-14 = -18\sqrt{a} $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{-18\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-4)} $

Сократим дробь на $ \sqrt{a} $:

$ \frac{-18}{a-4} $

Ответ: $ \frac{-18}{a-4} $

253. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}};

2) $\frac{12}{5-\sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}} - \frac{1}{\sqrt{17}-4};

3) $\frac{1}{\sqrt{5}+1} + \frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13}+3} + \dots + \frac{1}{5+\sqrt{21}}.$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$, избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Преобразуем каждый член выражения по отдельности:

Первый член:
$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$.

Второй член:
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Третий член (заметим, что $2 = \sqrt{4}$):
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные выражения:
$(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3}$.

Сокращаем взаимно уничтожающиеся слагаемые:
$(\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (1 + 2) = 0 + 0 + 3 = 3$.

Ответ: 3

2) Рассмотрим выражение $\frac{12}{5 - \sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} - \frac{1}{\sqrt{17} - 4}$. Аналогично первому пункту, избавимся от иррациональности в знаменателях.

Преобразуем каждый член выражения:

Первый член:
$\frac{12}{5 - \sqrt{13}} = \frac{12 \cdot (5 + \sqrt{13})}{(5 - \sqrt{13})(5 + \sqrt{13})} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{5^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{25 - 13} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{12} = 5 + \sqrt{13}$.

Второй член:
$\frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{17} - \sqrt{13})}{(\sqrt{17} + \sqrt{13})(\sqrt{17} - \sqrt{13})} = \frac{4(\sqrt{17} - \sqrt{13})}{(\sqrt{17})^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{4(\sqrt{17} - \sqrt{13})}{17 - 13} = \frac{4(\sqrt{17} - \sqrt{13})}{4} = \sqrt{17} - \sqrt{13}$.

Третий член (заметим, что $4 = \sqrt{16}$):
$\frac{1}{\sqrt{17} - 4} = \frac{1 \cdot (\sqrt{17} + 4)}{(\sqrt{17} - 4)(\sqrt{17} + 4)} = \frac{\sqrt{17} + 4}{(\sqrt{17})^2 - 4^2} = \frac{\sqrt{17} + 4}{17 - 16} = \sqrt{17} + 4$.

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:
$(5 + \sqrt{13}) + (\sqrt{17} - \sqrt{13}) - (\sqrt{17} + 4) = 5 + \sqrt{13} + \sqrt{17} - \sqrt{13} - \sqrt{17} - 4$.

Сокращаем взаимно уничтожающиеся слагаемые:
$(\sqrt{13} - \sqrt{13}) + (\sqrt{17} - \sqrt{17}) + (5 - 4) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

3) Рассмотрим сумму $\frac{1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13} + 3} + ... + \frac{1}{5 + \sqrt{21}}$. Это сумма, члены которой образуют закономерность. Преобразуем каждый член, избавляясь от иррациональности в знаменателе, предварительно представив целые числа как корни.

Первый член: $\frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{1}}$. Домножим на сопряженное $\sqrt{5} - \sqrt{1}$:
$\frac{1 \cdot (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5} - 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

Второй член: $\frac{1}{3 + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{5}}$. Домножим на сопряженное $\sqrt{9} - \sqrt{5}$:
$\frac{1 \cdot (3 - \sqrt{5})}{(\sqrt{9} + \sqrt{5})(\sqrt{9} - \sqrt{5})} = \frac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$.

Заметим, что разность квадратов подкоренных выражений в знаменателе для всех дробей будет равна 4. (Например, для третьего члена: $13 - 3^2 = 13 - 9 = 4$).

Таким образом, общий вид k-го члена после преобразования: $\frac{\sqrt{4k+1} - \sqrt{4k-3}}{4}$.

Сложим все преобразованные члены. Получается так называемая "телескопическая сумма":

$S = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{1}}{4} + \frac{\sqrt{9} - \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13} - \sqrt{9}}{4} + ... + \frac{\sqrt{25} - \sqrt{21}}{4}$

$S = \frac{1}{4} [(\sqrt{5} - \sqrt{1}) + (\sqrt{9} - \sqrt{5}) + (\sqrt{13} - \sqrt{9}) + (\sqrt{17} - \sqrt{13}) + (\sqrt{21} - \sqrt{17}) + (\sqrt{25} - \sqrt{21})]$

Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$, $\sqrt{9}$ и $-\sqrt{9}$, и так далее. Остаются только первый и последний член последовательности:

$S = \frac{1}{4} [-\sqrt{1} + \sqrt{25}] = \frac{1}{4} [-1 + 5] = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1