Номер 252, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 252, страница 235.

252. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$

2) $\frac{\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{ab}+b}$

3) $(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} - \frac{8\sqrt{x}}{x-4}) \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

4) $\frac{a-49}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{a+7\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+7}{a-2\sqrt{a}}$

1)

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}} $.

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю $ \sqrt{a}(\sqrt{a}-1) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ \sqrt{a} $, а второй дроби — на $ (\sqrt{a}-1) $:

$ \frac{(\sqrt{a}-5)\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} - \frac{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(\sqrt{a}-5)\sqrt{a} - (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (\sqrt{a}-5)\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a} = a - 5\sqrt{a} $

$ (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}-1) = (\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 4 = a - 5\sqrt{a} + 4 $

Подставим полученные выражения в числитель и упростим его:

$ (a - 5\sqrt{a}) - (a - 5\sqrt{a} + 4) = a - 5\sqrt{a} - a + 5\sqrt{a} - 4 = -4 $

Раскроем скобки в знаменателе: $ \sqrt{a}(\sqrt{a}-1) = a - \sqrt{a} $.

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$ \frac{-4}{a - \sqrt{a}} $

Ответ: $ \frac{-4}{a - \sqrt{a}} $

2)

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{ab}+b} $.

Разложим на множители знаменатели дробей, вынося общий множитель за скобки:

$ a+\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{a} + \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $

$ \sqrt{ab}+b = \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $

Перепишем исходное выражение с разложенными знаменателями:

$ \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

Общий знаменатель равен $ \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{(\sqrt{a}+1)\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} - \frac{(\sqrt{b}-1)\sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

Выполним вычитание в числителе:

$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1) - \sqrt{a}(\sqrt{b}-1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{b} - (\sqrt{ab}-\sqrt{a})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{b} - \sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:

$ \frac{1}{\sqrt{ab}} $

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{ab}} $

3)

Исходное выражение: $ \left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} - \frac{8\sqrt{x}}{x-4}\right) \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} $.

Сначала упростим выражение в скобках. Используем формулу разности квадратов для знаменателя второй дроби: $ x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) $.

$ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} - \frac{8\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) $:

$ \frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} - \frac{8\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{(\sqrt{x}+2)^2 - 8\sqrt{x}}{x-4} $

Раскроем квадрат суммы в числителе и упростим: $ (\sqrt{x}+2)^2 - 8\sqrt{x} = (x + 4\sqrt{x} + 4) - 8\sqrt{x} = x - 4\sqrt{x} + 4 $.

Полученный числитель является полным квадратом разности: $ x - 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x}-2)^2 $.

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{(\sqrt{x}-2)^2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} $.

Теперь выполним умножение:

$ \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} $

Разложим числитель второй дроби на множители: $ x+2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+2) $.

Подставим и произведем сокращение:

$ \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} = \sqrt{x} $

Ответ: $ \sqrt{x} $

4)

Исходное выражение: $ \frac{a-49}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{a+7\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+7}{a-2\sqrt{a}} $.

Выполним по действиям. Сначала умножение:

$ \frac{a-49}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{a+7\sqrt{a}} $

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй: $ a-49 = (\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7) $ и $ a+7\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+7) $.

$ \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{\sqrt{a}+2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+7)} = \frac{\sqrt{a}-7}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)} $

Теперь выполним вычитание. Разложим на множители знаменатель вычитаемой дроби: $ a-2\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-2) $.

$ \frac{\sqrt{a}-7}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}+7}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)} $

Общий знаменатель: $ \sqrt{a}(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2) = \sqrt{a}(a-4) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}-2)}{\sqrt{a}(a-4)} - \frac{(\sqrt{a}+7)(\sqrt{a}+2)}{\sqrt{a}(a-4)} $

Запишем под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(a-2\sqrt{a}-7\sqrt{a}+14) - (a+2\sqrt{a}+7\sqrt{a}+14)}{\sqrt{a}(a-4)} = \frac{(a-9\sqrt{a}+14) - (a+9\sqrt{a}+14)}{\sqrt{a}(a-4)} $

Упростим числитель:

$ a-9\sqrt{a}+14 - a-9\sqrt{a}-14 = -18\sqrt{a} $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{-18\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-4)} $

Сократим дробь на $ \sqrt{a} $:

$ \frac{-18}{a-4} $

Ответ: $ \frac{-18}{a-4} $