Номер 254, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 254, страница 236.

254. Сравните:

1) $\sqrt{39}$ и $2\sqrt{10}$;

2) $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,4}$;

3) $4$ и $\sqrt[3]{65}$;

4) $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$;

5) $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[8]{35}$;

6) $\sqrt{5}$ и $\sqrt[3]{12}$;

7) $\sqrt[6]{7}$ и $\sqrt[4]{3}$;

8) $\sqrt[8]{4\sqrt{5}}$ и $\sqrt[4]{3}$;

9) $\sqrt{2\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.

1) Сравним числа $\sqrt{39}$ и $2\sqrt{10}$.
Чтобы сравнить эти два числа, внесем множитель 2 под знак квадратного корня во втором выражении.
$2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{39}$ и $\sqrt{40}$.
Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, то большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня. Поскольку $39 < 40$, то $\sqrt{39} < \sqrt{40}$.
Следовательно, $\sqrt{39} < 2\sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{39} < 2\sqrt{10}$.

2) Сравним числа $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,4}$.
Упростим первое выражение. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Теперь внесем множитель 0,3 под знак корня:
$0,3\sqrt{\frac{10}{3}} = \sqrt{(0,3)^2 \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{0,09 \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{9}{100} \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{3}{10}} = \sqrt{0,3}$.
Теперь сравним $\sqrt{0,3}$ и $\sqrt{0,4}$.
Поскольку $0,3 < 0,4$, то $\sqrt{0,3} < \sqrt{0,4}$.
Следовательно, $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}} < \sqrt{0,4}$.
Ответ: $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}} < \sqrt{0,4}$.

3) Сравним числа $4$ и $\sqrt[3]{65}$.
Чтобы сравнить их, представим число 4 в виде кубического корня.
$4 = \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{64}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{64}$ и $\sqrt[3]{65}$.
Функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей. Так как $64 < 65$, то $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{65}$.
Следовательно, $4 < \sqrt[3]{65}$.
Ответ: $4 < \sqrt[3]{65}$.

4) Сравним числа $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$.
Внесем множители под знак кубического корня в обоих выражениях.
$3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{81}$.
$2\sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{80}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{81}$ и $\sqrt[3]{80}$.
Поскольку $81 > 80$, то $\sqrt[3]{81} > \sqrt[3]{80}$.
Следовательно, $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.

5) Сравним числа $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[8]{35}$.
Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 8 равно 8.
Первый корень приведем к показателю 8:
$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[8]{36}$.
Теперь сравним $\sqrt[8]{36}$ и $\sqrt[8]{35}$.
Поскольку $36 > 35$, то $\sqrt[8]{36} > \sqrt[8]{35}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{6} > \sqrt[8]{35}$.
Ответ: $\sqrt[4]{6} > \sqrt[8]{35}$.

6) Сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt[3]{12}$.
Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 2 и 3, наименьшее общее кратное для них равно 6.
$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.
$\sqrt[3]{12} = \sqrt[3 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[6]{144}$.
Теперь сравним $\sqrt[6]{125}$ и $\sqrt[6]{144}$.
Поскольку $125 < 144$, то $\sqrt[6]{125} < \sqrt[6]{144}$.
Следовательно, $\sqrt{5} < \sqrt[3]{12}$.
Ответ: $\sqrt{5} < \sqrt[3]{12}$.

7) Сравним числа $\sqrt[6]{7}$ и $\sqrt[4]{3}$.
Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 6 и 4 равно 12.
$\sqrt[6]{7} = \sqrt[6 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[12]{49}$.
$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[12]{27}$.
Теперь сравним $\sqrt[12]{49}$ и $\sqrt[12]{27}$.
Поскольку $49 > 27$, то $\sqrt[12]{49} > \sqrt[12]{27}$.
Следовательно, $\sqrt[6]{7} > \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{7} > \sqrt[4]{3}$.

8) Сравним числа $\sqrt[8]{4\sqrt{5}}$ и $\sqrt[4]{3}$.
Упростим первое выражение, используя свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$.
$\sqrt[8]{4\sqrt{5}} = \sqrt[8]{\sqrt{4^2 \cdot 5}} = \sqrt[8]{\sqrt{16 \cdot 5}} = \sqrt[8]{\sqrt{80}} = \sqrt[16]{80}$.
Приведем второй корень $\sqrt[4]{3}$ к показателю 16:
$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[16]{81}$.
Теперь сравним $\sqrt[16]{80}$ и $\sqrt[16]{81}$.
Поскольку $80 < 81$, то $\sqrt[16]{80} < \sqrt[16]{81}$.
Следовательно, $\sqrt[8]{4\sqrt{5}} < \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[8]{4\sqrt{5}} < \sqrt[4]{3}$.

9) Сравним числа $\sqrt{2\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.
Упростим оба выражения, приведя их к одному корню с одинаковым показателем.
Для первого числа:
$\sqrt{2\sqrt[5]{3}} = \sqrt{\sqrt[5]{2^5 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[5]{32 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[10]{96}$.
Для второго числа:
$\sqrt[5]{6\sqrt{3}} = \sqrt[5]{\sqrt{6^2 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\sqrt{36 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\sqrt{108}} = \sqrt[10]{108}$.
Теперь сравним $\sqrt[10]{96}$ и $\sqrt[10]{108}$.
Поскольку $96 < 108$, то $\sqrt[10]{96} < \sqrt[10]{108}$.
Следовательно, $\sqrt{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.
Ответ: $\sqrt{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.