Номер 249, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 249, страница 235.

249. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{28}{\sqrt{7}}$;

2) $\frac{4}{\sqrt[3]{2}}$;

3) $\frac{12}{\sqrt[4]{27}}$;

4) $\frac{30}{\sqrt[3]{10}}$;

5) $\frac{32}{\sqrt[5]{16}}$;

6) $\frac{a^4}{\sqrt[7]{a^4}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{28}{\sqrt{7}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{7} $. Это позволит нам получить в знаменателе целое число, так как $ \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7 $.
$ \frac{28}{\sqrt{7}} = \frac{28 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{28\sqrt{7}}{7} $
Теперь сократим полученную дробь:
$ \frac{28\sqrt{7}}{7} = 4\sqrt{7} $
Ответ: $ 4\sqrt{7} $

2) В знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt[3]{2}} $ находится корень третьей степени. Чтобы от него избавиться, нужно, чтобы подкоренное выражение стало кубом некоторого числа. Сейчас под корнем $ 2^1 $. Нам нужно получить $ 2^3 $. Для этого домножим знаменатель на $ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $. Чтобы значение дроби не изменилось, на этот же множитель нужно домножить и числитель.
$ \frac{4}{\sqrt[3]{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} $
Так как $ \sqrt[3]{8} = 2 $, получаем:
$ \frac{4\sqrt[3]{4}}{2} = 2\sqrt[3]{4} $
Ответ: $ 2\sqrt[3]{4} $

3) В знаменателе дроби $ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} $ находится корень четвертой степени. Представим $ 27 $ как $ 3^3 $. Дробь примет вид $ \frac{12}{\sqrt[4]{3^3}} $. Чтобы в знаменателе исчез корень, подкоренное выражение должно стать четвертой степенью числа. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3^{4-3}} = \sqrt[4]{3} $.
$ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} = \frac{12 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{81}} $
Так как $ \sqrt[4]{81} = 3 $, получаем:
$ \frac{12\sqrt[4]{3}}{3} = 4\sqrt[4]{3} $
Ответ: $ 4\sqrt[4]{3} $

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{30}{\sqrt[3]{10}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало кубом числа. Нам нужно получить $ \sqrt[3]{10^3} $, а у нас есть $ \sqrt[3]{10^1} $. Домножаем на $ \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100} $.
$ \frac{30}{\sqrt[3]{10}} = \frac{30 \cdot \sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100}} = \frac{30\sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{1000}} $
Так как $ \sqrt[3]{1000} = 10 $, получаем:
$ \frac{30\sqrt[3]{100}}{10} = 3\sqrt[3]{100} $
Ответ: $ 3\sqrt[3]{100} $

5) В знаменателе дроби $ \frac{32}{\sqrt[5]{16}} $ находится корень пятой степени. Представим $ 16 $ как $ 2^4 $. Дробь примет вид $ \frac{32}{\sqrt[5]{2^4}} $. Чтобы в знаменателе исчез корень, подкоренное выражение должно стать пятой степенью числа. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^{5-4}} = \sqrt[5]{2} $.
$ \frac{32}{\sqrt[5]{16}} = \frac{32 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{32\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{32}} $
Так как $ \sqrt[5]{32} = 2 $, получаем:
$ \frac{32\sqrt[5]{2}}{2} = 16\sqrt[5]{2} $
Ответ: $ 16\sqrt[5]{2} $

6) В знаменателе дроби $ \frac{a^4}{\sqrt[7]{a^4}} $ находится корень седьмой степени (предполагаем, что $ a \ne 0 $). Чтобы избавиться от корня, нужно, чтобы подкоренное выражение стало седьмой степенью переменной. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{a^{7-4}} = \sqrt[7]{a^3} $.
$ \frac{a^4}{\sqrt[7]{a^4}} = \frac{a^4 \cdot \sqrt[7]{a^3}}{\sqrt[7]{a^4} \cdot \sqrt[7]{a^3}} = \frac{a^4\sqrt[7]{a^3}}{\sqrt[7]{a^4 \cdot a^3}} = \frac{a^4\sqrt[7]{a^3}}{\sqrt[7]{a^7}} $
Так как $ \sqrt[7]{a^7} = a $, получаем:
$ \frac{a^4\sqrt[7]{a^3}}{a} = a^{4-1}\sqrt[7]{a^3} = a^3\sqrt[7]{a^3} $
Ответ: $ a^3\sqrt[7]{a^3} $