Номер 248, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 248, страница 235.

248. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1};$

2) $\frac{a - 3\sqrt{a}}{a - 9};$

3) $\frac{7 - \sqrt{7}}{\sqrt{7}};$

4) $\frac{\sqrt{21} + 3}{7 + \sqrt{21}};$

5) $\frac{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}{m + n};$

6) $\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}};$

7) $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2};$

8) $\frac{a + \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a} + \sqrt[4]{a}}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}$, представим знаменатель в виде разности квадратов. Зная, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $1 = 1^2$, мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатель $x - 1$ раскладывается как $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

Теперь мы можем сократить общий множитель $(\sqrt{x} + 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \geq 0$ и $x \neq 1$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

2) Для сокращения дроби $\frac{a - 3\sqrt{a}}{a - 9}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}$: $a - 3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)$.

Знаменатель является разностью квадратов: $a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.

Получаем дробь:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a} - 3)$ (при условии, что $a \geq 0$ и $a \neq 9$).

Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}$

3) В дроби $\frac{7 - \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ вынесем в числителе за скобки множитель $\sqrt{7}$.

Так как $7 = (\sqrt{7})^2$, то числитель можно записать как $\sqrt{7}(\sqrt{7} - 1)$.

Дробь принимает вид:

$\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} - 1)}{\sqrt{7}}$

Сокращаем $\sqrt{7}$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $\sqrt{7} - 1$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{21} + 3}{7 + \sqrt{21}}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $\sqrt{21} + 3 = \sqrt{7 \cdot 3} + (\sqrt{3})^2 = \sqrt{7}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

Знаменатель: $7 + \sqrt{21} = (\sqrt{7})^2 + \sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7}\sqrt{7} + \sqrt{7}\sqrt{3} = \sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

Подставляем в дробь:

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$.

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

5) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}{m + n}$ применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ к знаменателю.

Пусть $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = \sqrt[3]{n}$. Тогда $m = a^3$ и $n = b^3$.

Знаменатель $m+n$ раскладывается как $(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})((\sqrt[3]{m})^2 - \sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2) = (\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} - \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})$.

Дробь имеет вид:

$\frac{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}{(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} - \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})$ (при условии, что $m \neq -n$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{m^2} - \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}}$

6) В дроби $\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ представим знаменатель как разность квадратов.

Учитывая, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$, знаменатель можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.

Подставим в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$ (при условии, что $a,b \geq 0$ и $a \neq b$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$

7) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2}$ удобно сделать замену. Пусть $y = \sqrt[6]{x}$.

Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{y^2 - 4}{y - 2}$.

Числитель - это разность квадратов: $y^2 - 4 = (y-2)(y+2)$.

$\frac{(y-2)(y+2)}{y-2}$

Сокращаем $(y-2)$ (при $y \neq 2$, то есть $x \neq 64$). Остается $y+2$.

Выполняем обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x} + 2$

8) В дроби $\frac{a + \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a} + \sqrt[4]{a}}$ приведем все степени к одному основанию, сделав замену $y = \sqrt[4]{a}$.

Тогда $a = y^4$, $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 = y^2$ и $\sqrt[4]{a^3} = (\sqrt[4]{a})^3 = y^3$.

Исходное выражение становится: $\frac{y^4 + y^3}{y^2 + y}$.

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{y^3(y+1)}{y(y+1)}$

Сокращаем общий множитель $y(y+1)$ (при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq -1$, что для $y = \sqrt[4]{a}$ означает $a > 0$).

$\frac{y^3}{y} = y^2$.

Выполняем обратную замену $y^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$