Номер 242, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 242, страница 234.

242. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a-12)^2}$, если $a \ge 12;$

2) $\sqrt{(y+3)^2}$, если $y \le -3;$

3) $(3-a)\sqrt{\frac{36}{(a-3)^2}}$, если $a > 3;$

4) $\sqrt[8]{(b-1)^8}$, если $b \ge 1;$

5) $\sqrt[12]{(7-y)^{12}}$, если $y \le 7;$

6) $(5-b)\sqrt[6]{\frac{64}{(b-5)^6}}$, если $b > 5.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(a-12)^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Таким образом, $\sqrt{(a-12)^2} = |a-12|$.
По условию $a \geq 12$, следовательно, выражение под знаком модуля $a-12 \geq 0$.
Согласно определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то $|a-12| = a-12$.
Ответ: $a-12$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(y+3)^2}$, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.
Получаем $\sqrt{(y+3)^2} = |y+3|$.
По условию $y \leq -3$, что означает $y+3 \leq 0$.
Согласно определению модуля, если выражение под модулем неположительно, то $|y+3| = -(y+3) = -y-3$.
Ответ: $-y-3$.

3) Рассмотрим выражение $(3-a)\sqrt{\frac{36}{(a-3)^2}}$. Сначала упростим корень:
$\sqrt{\frac{36}{(a-3)^2}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{(a-3)^2}} = \frac{6}{|a-3|}$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(3-a) \cdot \frac{6}{|a-3|}$.
По условию $a > 3$, значит $a-3 > 0$. Следовательно, $|a-3| = a-3$.
Выражение принимает вид: $(3-a) \cdot \frac{6}{a-3}$.
Заметим, что $3-a = -(a-3)$. Подставим это в выражение:
$-(a-3) \cdot \frac{6}{a-3}$.
Так как $a>3$, то $a-3 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a-3)$.
В результате получаем $-6$.
Ответ: $-6$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(b-1)^8}$ используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
Таким образом, $\sqrt[8]{(b-1)^8} = |b-1|$.
По условию $b \geq 1$, следовательно, $b-1 \geq 0$.
По определению модуля, $|b-1| = b-1$.
Ответ: $b-1$.

5) Упростим выражение $\sqrt[12]{(7-y)^{12}}$. Так как степень корня (12) является четным числом, используем свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
$\sqrt[12]{(7-y)^{12}} = |7-y|$.
По условию $y \leq 7$, следовательно, выражение под знаком модуля $7-y \geq 0$.
По определению модуля, если выражение под ним неотрицательно, $|7-y| = 7-y$.
Ответ: $7-y$.

6) Рассмотрим выражение $(5-b)\sqrt[6]{\frac{64}{(b-5)^6}}$. Упростим корень:
$\sqrt[6]{\frac{64}{(b-5)^6}} = \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{(b-5)^6}} = \frac{2}{|b-5|}$, так как $\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6}=2$ и корень имеет четную степень 6.
Подставим упрощенный корень в исходное выражение: $(5-b) \cdot \frac{2}{|b-5|}$.
По условию $b > 5$, значит $b-5 > 0$. Следовательно, $|b-5| = b-5$.
Выражение принимает вид: $(5-b) \cdot \frac{2}{b-5}$.
Так как $5-b = -(b-5)$, получаем: $-(b-5) \cdot \frac{2}{b-5}$.
Поскольку $b>5$, то $b-5 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(b-5)$.
Результат равен $-2$.
Ответ: $-2$.