Номер 238, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 238, страница 233.

238. Решите уравнение:

1) $x^2 = 7;$

2) $x^2 = -16;$

3) $x^7 = 9;$

4) $x^5 = -2;$

5) $x^4 = 16;$

6) $x^6 = 5.$

1) Дано уравнение $x^2=7$. Это уравнение вида $x^n=a$, где показатель степени $n$ — четное число ($n=2$), а правая часть $a$ — положительное число ($a=7$). Такое уравнение имеет два действительных корня, которые находятся извлечением корня степени $n$ из числа $a$. В данном случае, извлекаем квадратный корень из 7.
$x = \pm\sqrt{7}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{7}$, $x_2 = -\sqrt{7}$.

2) Дано уравнение $x^2=-16$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Поскольку правая часть уравнения отрицательна ($-16$), уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

3) Дано уравнение $x^7=9$. В этом уравнении показатель степени $n$ — нечетное число ($n=7$). Уравнение вида $x^n=a$ при нечетном $n$ всегда имеет один действительный корень, равный $\sqrt[n]{a}$, независимо от знака $a$.
$x = \sqrt[7]{9}$.
Ответ: $x = \sqrt[7]{9}$.

4) Дано уравнение $x^5=-2$. Здесь показатель степени $n$ — нечетное число ($n=5$). Как и в предыдущем случае, уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[5]{-2}$.
Корень нечетной степени из отрицательного числа можно вынести за знак корня: $\sqrt[5]{-2} = -\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $x = -\sqrt[5]{2}$.

5) Дано уравнение $x^4=16$. Это уравнение с четным показателем степени ($n=4$) и положительной правой частью ($a=16$). Уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[4]{16}$.
Поскольку $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Следовательно, $x = \pm 2$.
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

6) Дано уравнение $x^6=5$. В этом уравнении показатель степени $n$ — четное число ($n=6$), а правая часть $a$ — положительное число ($a=5$). Уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[6]{5}$.
Так как 5 не является точной шестой степенью целого числа, ответ остается в иррациональном виде.
Ответ: $x_1 = \sqrt[6]{5}$, $x_2 = -\sqrt[6]{5}$.