Номер 237, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 237, страница 233.

237. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3-a}$; 3) $\sqrt{a^4+1}$; 5) $\sqrt[9]{a-8}$; 7) $\sqrt[4]{y^2+y}$;

2) $\sqrt{a^2}$; 4) $\sqrt[8]{x+4}$; 6) $\sqrt[6]{-x^2}$; 8) $\sqrt[10]{x^2-2x-8}$?

1) Выражение $\sqrt{3-a}$ является корнем четной степени (квадратный корень, показатель 2), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$3-a \ge 0$
$-a \ge -3$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$a \le 3$
Выражение имеет смысл при $a \le 3$.
Ответ: $a \le 3$.

2) Выражение $\sqrt{a^2}$ является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим неравенство:
$a^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

3) Выражение $\sqrt{a^4+1}$ является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим неравенство:
$a^4+1 \ge 0$
Так как $a^4 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то $a^4+1 \ge 0+1$, то есть $a^4+1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство $a^4+1 \ge 0$ выполняется для любого значения $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

4) Выражение $\sqrt[8]{x+4}$ является корнем четной степени (показатель 8), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$x+4 \ge 0$
$x \ge -4$
Выражение имеет смысл при $x \ge -4$.
Ответ: $x \ge -4$.

5) Выражение $\sqrt[9]{a-8}$ является корнем нечетной степени (показатель 9). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.
Подкоренное выражение $a-8$ определено для любого значения $a$.
Следовательно, выражение имеет смысл при любом значении $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

6) Выражение $\sqrt[6]{-x^2}$ является корнем четной степени (показатель 6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим неравенство:
$-x^2 \ge 0$
Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Умножая на -1, получаем $-x^2 \le 0$.
Таким образом, неравенство $-x^2 \ge 0$ может выполняться только в том случае, когда $-x^2 = 0$, что эквивалентно $x^2=0$.
Это уравнение имеет единственный корень $x=0$.
Ответ: $x=0$.

7) Выражение $\sqrt[4]{y^2+y}$ является корнем четной степени (показатель 4), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$y^2+y \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2+y=0$:
$y(y+1)=0$
$y_1=0$, $y_2=-1$.
Графиком функции $f(y)=y^2+y$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при значениях аргумента, которые находятся вне интервала между корнями.
Следовательно, $y \le -1$ или $y \ge 0$.
Ответ: $y \le -1$ или $y \ge 0$.

8) Выражение $\sqrt[10]{x^2-2x-8}$ является корнем четной степени (показатель 10), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$x^2-2x-8 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-2x-8=0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{2+6}{2} = 4$
$x_2 = \frac{2-6}{2} = -2$
Графиком функции $f(x)=x^2-2x-8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при значениях аргумента, которые находятся вне интервала между корнями.
Следовательно, $x \le -2$ или $x \ge 4$.
Ответ: $x \le -2$ или $x \ge 4$.