Номер 240, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 240, страница 234.

240. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}};$

2) $\sqrt{\sqrt[4]{a}};$

3) $\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}};$

4) $\sqrt[15]{b^{10}};$

5) $\sqrt[6]{a^3 b^9}.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}}$ воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[n \cdot k]{x}$. В данном случае показатели корней $n=3$ и $k=6$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt[3]{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[3 \cdot 6]{m} = \sqrt[18]{m}$

Ответ: $\sqrt[18]{m}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[4]{a}}$ используем то же свойство $\sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[n \cdot k]{x}$. Показатель первого (квадратного) корня равен $n=2$, а показатель второго корня $k=4$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[2 \cdot 4]{a} = \sqrt[8]{a}$

Ответ: $\sqrt[8]{a}$

3) Упростим выражение $\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}}$, применив свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[n \cdot k]{x}$. Здесь показатели корней $n=9$ и $k=5$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt[9]{\sqrt[5]{x}} = \sqrt[9 \cdot 5]{x} = \sqrt[45]{x}$

Ответ: $\sqrt[45]{x}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[15]{b^{10}}$ воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Также можно представить выражение в виде степени с рациональным показателем.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для показателя корня 15 и показателя степени 10. НОД(15, 10) = 5. Разделим оба показателя на 5:

$\sqrt[15]{b^{10}} = \sqrt[15/5]{b^{10/5}} = \sqrt[3]{b^2}$

Или через рациональные показатели:

$\sqrt[15]{b^{10}} = b^{\frac{10}{15}} = b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{b^2}$

5) Упростим выражение $\sqrt[6]{a^3 b^9}$. Можно сократить показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения на их наибольший общий делитель.

Найдем НОД для показателей 6, 3 и 9. НОД(6, 3, 9) = 3. Разделим показатель корня и показатели степеней у $a$ и $b$ на 3:

$\sqrt[6]{a^3 b^9} = \sqrt[6/3]{a^{3/3} b^{9/3}} = \sqrt[2]{a^1 b^3} = \sqrt{ab^3}$

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Предполагая, что переменные неотрицательны ($a \ge 0, b \ge 0$):

$\sqrt{ab^3} = \sqrt{a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{ab} = b\sqrt{ab}$

Ответ: $b\sqrt{ab}$