Номер 245, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 245, страница 234.

245. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{18a^8};$

2) $\sqrt[4]{x^9};$

3) $\sqrt[3]{-m^{10}};$

4) $\sqrt[6]{a^{10}b^9}$, если $a \le 0;$

5) $\sqrt[4]{-81a^{11}};$

6) $\sqrt[10]{-p^{31}q^{24}}.$

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{18a^8}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.

Разложим число $18$ на множители: $18 = 9 \cdot 2$. Число $9$ является полным квадратом ($9=3^2$).

Разложим $a^8$: $a^8 = (a^4)^2$. Это также полный квадрат.

Теперь перепишем исходное выражение:

$\sqrt{18a^8} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot (a^4)^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(a^4)^2} \cdot \sqrt{2}$

Извлечем корни:

$\sqrt{9} = 3$

$\sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$. Поскольку показатель степени $4$ четный, выражение $a^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^4| = a^4$.

Собираем все вместе:

$3 \cdot a^4 \cdot \sqrt{2} = 3a^4\sqrt{2}$

Ответ: $3a^4\sqrt{2}$

2) Для выражения $\sqrt[4]{x^9}$ нужно вынести множитель из-под корня четвертой степени. Область определения выражения: $x^9 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Представим $x^9$ в виде произведения так, чтобы один из множителей был в четвертой степени:

$x^9 = x^8 \cdot x^1 = (x^2)^4 \cdot x$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot x} = \sqrt[4]{(x^2)^4} \cdot \sqrt[4]{x}$

Так как корень четной степени из выражения в такой же степени равен модулю этого выражения, получаем:

$\sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2|$. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, $|x^2|=x^2$.

Окончательный результат:

$x^2\sqrt[4]{x}$

Ответ: $x^2\sqrt[4]{x}$

3) В выражении $\sqrt[3]{-m^{10}}$ корень нечетной степени, поэтому подкоренное выражение может быть отрицательным.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь кубический корень.

$-m^{10} = -1 \cdot m^{10} = -1 \cdot m^9 \cdot m = (-1) \cdot (m^3)^3 \cdot m$

Перепишем выражение и применим свойство корня из произведения:

$\sqrt[3]{-m^{10}} = \sqrt[3]{(-1) \cdot (m^3)^3 \cdot m} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{(m^3)^3} \cdot \sqrt[3]{m}$

Извлечем корни:

$\sqrt[3]{-1} = -1$

$\sqrt[3]{(m^3)^3} = m^3$ (для нечетных корней модуль не ставится)

Собираем результат:

$-1 \cdot m^3 \cdot \sqrt[3]{m} = -m^3\sqrt[3]{m}$

Ответ: $-m^3\sqrt[3]{m}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^{10}b^9}$ при условии $a \le 0$.

Корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{10}b^9 \ge 0$.

Поскольку $a^{10} = (a^5)^2 \ge 0$ для любого $a$, то для выполнения условия необходимо, чтобы $b^9 \ge 0$, что равносильно $b \ge 0$.

Теперь вынесем множители. Представим степени в виде произведения, выделяя множители со степенью, кратной 6:

$a^{10} = a^6 \cdot a^4$

$b^9 = b^6 \cdot b^3$

Подставим в исходное выражение:

$\sqrt[6]{a^{10}b^9} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^4 \cdot b^6 \cdot b^3} = \sqrt[6]{a^6 \cdot b^6 \cdot a^4b^3} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{a^4b^3}$

Извлекаем корни, помня, что $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:

$\sqrt[6]{a^6} = |a|$

$\sqrt[6]{b^6} = |b|$

Результат: $|a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{a^4b^3}$.

Теперь используем заданные условия: $a \le 0$, следовательно $|a| = -a$. И выведенное нами условие $b \ge 0$, следовательно $|b| = b$.

Подставляем значения модулей:

$(-a) \cdot b \cdot \sqrt[6]{a^4b^3} = -ab\sqrt[6]{a^4b^3}$

Ответ: $-ab\sqrt[6]{a^4b^3}$

5) В выражении $\sqrt[4]{-81a^{11}}$ корень четной степени, значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $-81a^{11} \ge 0$.

Поскольку $-81 < 0$, для выполнения неравенства требуется, чтобы $a^{11} \le 0$, что означает $a \le 0$.

Вынесем множители из-под знака корня. Представим подкоренное выражение в удобном виде. Учитывая, что $a \le 0$, выражение $-a \ge 0$.

$-81a^{11} = 81 \cdot (-a^{11}) = 81 \cdot a^8 \cdot (-a^3)$. Проверим знак: так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, и $-a^3 \ge 0$. Выражение корректно.

Разложим на множители:

$81=3^4$

$a^8=(a^2)^4$

Подставим в корень:

$\sqrt[4]{-81a^{11}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (-a^3)} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{-a^3}$

Извлекаем корни:

$\sqrt[4]{3^4}=3$

$\sqrt[4]{(a^2)^4}=|a^2|=a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно)

Собираем результат:

$3 \cdot a^2 \cdot \sqrt[4]{-a^3} = 3a^2\sqrt[4]{-a^3}$

Ответ: $3a^2\sqrt[4]{-a^3}$

6) В выражении $\sqrt[10]{-p^{31}q^{24}}$ корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-p^{31}q^{24} \ge 0$.

Множитель $q^{24} = (q^{12})^2$ всегда неотрицателен. Если $q=0$, выражение равно 0. Если $q \ne 0$, то $q^{24}>0$. Тогда для выполнения неравенства необходимо, чтобы $-p^{31} \ge 0$, то есть $p^{31} \le 0$, что означает $p \le 0$.

Разложим подкоренное выражение, выделяя множители со степенью, кратной 10. Учтем, что $p \le 0$, значит $-p \ge 0$.

$-p^{31}q^{24} = (-p) \cdot p^{30} \cdot q^{20} \cdot q^4$. Перегруппируем: $p^{30}q^{20}(-pq^4)$.

Разложим степени:

$p^{30} = (p^3)^{10}$

$q^{20} = (q^2)^{10}$

Подставим в корень:

$\sqrt[10]{-p^{31}q^{24}} = \sqrt[10]{(p^3)^{10} \cdot (q^2)^{10} \cdot (-p)q^4} = \sqrt[10]{(p^3)^{10}} \cdot \sqrt[10]{(q^2)^{10}} \cdot \sqrt[10]{-pq^4}$

Извлекаем корни:

$\sqrt[10]{(p^3)^{10}} = |p^3|$. Так как $p \le 0$, то $p^3 \le 0$, и $|p^3| = -p^3$.

$\sqrt[10]{(q^2)^{10}} = |q^2|$. Так как $q^2 \ge 0$ для любого $q$, то $|q^2| = q^2$.

Объединяем множители:

$(-p^3) \cdot q^2 \cdot \sqrt[10]{-pq^4} = -p^3q^2\sqrt[10]{-pq^4}$

Ответ: $-p^3q^2\sqrt[10]{-pq^4}$