Номер 251, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 251, страница 235.

251. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3}{12+5\sqrt{6}} + \frac{3}{12-5\sqrt{6}}$;

2) $(\sqrt{7+4\sqrt{3}} - \sqrt{7-4\sqrt{3}})^2$;

3) $\sqrt[3]{5-\sqrt{15}} \cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}$;

4) $\sqrt{\sqrt{5}+1} \cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{3}{12+5\sqrt{6}} + \frac{3}{12-5\sqrt{6}}$, приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель: $(12+5\sqrt{6})(12-5\sqrt{6})$. Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(12+5\sqrt{6})(12-5\sqrt{6}) = 12^2 - (5\sqrt{6})^2 = 144 - 25 \cdot 6 = 144 - 150 = -6$.
Теперь сложим дроби, домножив числитель первой дроби на $(12-5\sqrt{6})$, а второй на $(12+5\sqrt{6})$:
$\frac{3(12-5\sqrt{6}) + 3(12+5\sqrt{6})}{(12+5\sqrt{6})(12-5\sqrt{6})} = \frac{36 - 15\sqrt{6} + 36 + 15\sqrt{6}}{-6} = \frac{72}{-6} = -12$.
Ответ: -12.

2) Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{7+4\sqrt{3}} - \sqrt{7-4\sqrt{3}})^2$, используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{7+4\sqrt{3}}$ и $b = \sqrt{7-4\sqrt{3}}$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{7+4\sqrt{3}})^2 = 7+4\sqrt{3}$.
И $b^2 = (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^2 = 7-4\sqrt{3}$.
Найдем произведение $2ab$:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2 \cdot \sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
Тогда $2ab = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$.
Подставляем найденные значения в формулу $a^2 - 2ab + b^2$:
$(7+4\sqrt{3}) - 2 + (7-4\sqrt{3}) = 7 + 4\sqrt{3} - 2 + 7 - 4\sqrt{3} = 14 - 2 = 12$.
Ответ: 12.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{5-\sqrt{15}} \cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}$.
Чтобы перемножить корни, приведем их к одному показателю, равному 6. Воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$.
$\sqrt[3]{5-\sqrt{15}} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5-\sqrt{15})^2} = \sqrt[6]{(5-\sqrt{15})^2}$.
Раскроем квадрат под корнем: $(5-\sqrt{15})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 25 - 10\sqrt{15} + 15 = 40 - 10\sqrt{15}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[6]{40-10\sqrt{15}} \cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[6]{(40-10\sqrt{15})(40+10\sqrt{15})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(40-10\sqrt{15})(40+10\sqrt{15}) = 40^2 - (10\sqrt{15})^2 = 1600 - 100 \cdot 15 = 1600 - 1500 = 100$.
Получаем $\sqrt[6]{100} = \sqrt[6]{10^2} = 10^{\frac{2}{6}} = 10^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{10}$.
Ответ: $\sqrt[3]{10}$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{\sqrt{5}+1} \cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}$.
Приведем корни к одному показателю, равному 4. Воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$.
$\sqrt{\sqrt{5}+1} = \sqrt[2 \cdot 2]{(\sqrt{5}+1)^2} = \sqrt[4]{(\sqrt{5}+1)^2}$.
Раскроем квадрат под корнем: $(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6+2\sqrt{5}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[4]{6+2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[4]{(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Получаем $\sqrt[4]{16}$. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16}=2$.
Ответ: 2.