Номер 255, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 255, страница 236.

Учебник.

255. Какому из данных промежутков принадлежит число $\sqrt[4]{63}$:

1) $[1; 2];$

2) $[2; 3];$

3) $[3; 4];$

4) $[4; 5]?$

Решение 2.

Чтобы определить, какому из данных промежутков принадлежит число $\sqrt[4]{63}$, проверим последовательно каждый из предложенных вариантов. Для этого будем использовать метод оценки: если число $x$ принадлежит промежутку $[a, b]$, то должно выполняться двойное неравенство $a \le x \le b$. В нашем случае $x = \sqrt[4]{63}$. Проверка неравенства $a \le \sqrt[4]{63} \le b$ равносильна проверке неравенства $a^4 \le 63 \le b^4$, так как функция возведения в четвертую степень монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел.

1) [1; 2]

Проверяем, выполняется ли неравенство $1 \le \sqrt[4]{63} \le 2$. Возводим в четвертую степень: $1^4 \le 63 \le 2^4$. Получаем $1 \le 63 \le 16$. Это неравенство неверно, так как $63 > 16$. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ не принадлежит этому промежутку.

2) [2; 3]

Проверяем, выполняется ли неравенство $2 \le \sqrt[4]{63} \le 3$. Возводим в четвертую степень: $2^4 \le 63 \le 3^4$. Получаем $16 \le 63 \le 81$. Это неравенство верно, так как 63 действительно находится между 16 и 81. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ принадлежит этому промежутку.

3) [3; 4]

Проверяем, выполняется ли неравенство $3 \le \sqrt[4]{63} \le 4$. Возводим в четвертую степень: $3^4 \le 63 \le 4^4$. Получаем $81 \le 63 \le 256$. Это неравенство неверно, так как $63 < 81$. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ не принадлежит этому промежутку.

4) [4; 5]

Проверяем, выполняется ли неравенство $4 \le \sqrt[4]{63} \le 5$. Возводим в четвертую степень: $4^4 \le 63 \le 5^4$. Получаем $256 \le 63 \le 625$. Это неравенство неверно, так как $63 < 256$. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ не принадлежит этому промежутку.

Таким образом, единственным промежутком, которому принадлежит число $\sqrt[4]{63}$, является [2; 3].

Ответ: 2) [2; 3]