Номер 253, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 253, страница 235.

Учебник.

253. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}};

2) $\frac{12}{5-\sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}} - \frac{1}{\sqrt{17}-4};

3) $\frac{1}{\sqrt{5}+1} + \frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13}+3} + \dots + \frac{1}{5+\sqrt{21}}.$

Решение 2.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$, избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Преобразуем каждый член выражения по отдельности:

Первый член:
$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$.

Второй член:
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Третий член (заметим, что $2 = \sqrt{4}$):
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные выражения:
$(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3}$.

Сокращаем взаимно уничтожающиеся слагаемые:
$(\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (1 + 2) = 0 + 0 + 3 = 3$.

Ответ: 3

2) Рассмотрим выражение $\frac{12}{5 - \sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} - \frac{1}{\sqrt{17} - 4}$. Аналогично первому пункту, избавимся от иррациональности в знаменателях.

Преобразуем каждый член выражения:

Первый член:
$\frac{12}{5 - \sqrt{13}} = \frac{12 \cdot (5 + \sqrt{13})}{(5 - \sqrt{13})(5 + \sqrt{13})} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{5^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{25 - 13} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{12} = 5 + \sqrt{13}$.

Второй член:
$\frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{17} - \sqrt{13})}{(\sqrt{17} + \sqrt{13})(\sqrt{17} - \sqrt{13})} = \frac{4(\sqrt{17} - \sqrt{13})}{(\sqrt{17})^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{4(\sqrt{17} - \sqrt{13})}{17 - 13} = \frac{4(\sqrt{17} - \sqrt{13})}{4} = \sqrt{17} - \sqrt{13}$.

Третий член (заметим, что $4 = \sqrt{16}$):
$\frac{1}{\sqrt{17} - 4} = \frac{1 \cdot (\sqrt{17} + 4)}{(\sqrt{17} - 4)(\sqrt{17} + 4)} = \frac{\sqrt{17} + 4}{(\sqrt{17})^2 - 4^2} = \frac{\sqrt{17} + 4}{17 - 16} = \sqrt{17} + 4$.

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:
$(5 + \sqrt{13}) + (\sqrt{17} - \sqrt{13}) - (\sqrt{17} + 4) = 5 + \sqrt{13} + \sqrt{17} - \sqrt{13} - \sqrt{17} - 4$.

Сокращаем взаимно уничтожающиеся слагаемые:
$(\sqrt{13} - \sqrt{13}) + (\sqrt{17} - \sqrt{17}) + (5 - 4) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

3) Рассмотрим сумму $\frac{1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13} + 3} + ... + \frac{1}{5 + \sqrt{21}}$. Это сумма, члены которой образуют закономерность. Преобразуем каждый член, избавляясь от иррациональности в знаменателе, предварительно представив целые числа как корни.

Первый член: $\frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{1}}$. Домножим на сопряженное $\sqrt{5} - \sqrt{1}$:
$\frac{1 \cdot (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5} - 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

Второй член: $\frac{1}{3 + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{5}}$. Домножим на сопряженное $\sqrt{9} - \sqrt{5}$:
$\frac{1 \cdot (3 - \sqrt{5})}{(\sqrt{9} + \sqrt{5})(\sqrt{9} - \sqrt{5})} = \frac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$.

Заметим, что разность квадратов подкоренных выражений в знаменателе для всех дробей будет равна 4. (Например, для третьего члена: $13 - 3^2 = 13 - 9 = 4$).

Таким образом, общий вид k-го члена после преобразования: $\frac{\sqrt{4k+1} - \sqrt{4k-3}}{4}$.

Сложим все преобразованные члены. Получается так называемая "телескопическая сумма":

$S = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{1}}{4} + \frac{\sqrt{9} - \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13} - \sqrt{9}}{4} + ... + \frac{\sqrt{25} - \sqrt{21}}{4}$

$S = \frac{1}{4} [(\sqrt{5} - \sqrt{1}) + (\sqrt{9} - \sqrt{5}) + (\sqrt{13} - \sqrt{9}) + (\sqrt{17} - \sqrt{13}) + (\sqrt{21} - \sqrt{17}) + (\sqrt{25} - \sqrt{21})]$

Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$, $\sqrt{9}$ и $-\sqrt{9}$, и так далее. Остаются только первый и последний член последовательности:

$S = \frac{1}{4} [-\sqrt{1} + \sqrt{25}] = \frac{1}{4} [-1 + 5] = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1