Номер 250, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 250, страница 235.

250. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{21}{\sqrt{26}-\sqrt{5}}$;

2) $\frac{14}{5+\sqrt{18}}$;

3) $\frac{8}{\sqrt[3]{3}-1}$;

4) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{21}{\sqrt{26} - \sqrt{5}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{26} - \sqrt{5}$ является $\sqrt{26} + \sqrt{5}$. При умножении в знаменателе используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
$\frac{21}{\sqrt{26} - \sqrt{5}} = \frac{21 \cdot (\sqrt{26} + \sqrt{5})}{(\sqrt{26} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{26} + \sqrt{5})} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{(\sqrt{26})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{26 - 5} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{21}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на 21 и получаем результат:
$\sqrt{26} + \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{26} + \sqrt{5}$.

2) Сначала упростим иррациональное число в знаменателе: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. Исходная дробь примет вид $\frac{14}{5 + 3\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $5 - 3\sqrt{2}$. В знаменателе снова применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
$\frac{14}{5 + 3\sqrt{2}} = \frac{14 \cdot (5 - 3\sqrt{2})}{(5 + 3\sqrt{2}) \cdot (5 - 3\sqrt{2})} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{25 - 9 \cdot 2} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{25 - 18} = \frac{14(5 - 3\sqrt{2})}{7}$.
Сократим дробь на 7:
$2(5 - 3\sqrt{2}) = 10 - 6\sqrt{2}$.
Ответ: $10 - 6\sqrt{2}$.

3) Знаменатель дроби $\frac{8}{\sqrt[3]{3} - 1}$ представляет собой разность $a - b$, где $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = 1$. Для устранения иррациональности воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $a^2 + ab + b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1$.
$\frac{8}{\sqrt[3]{3} - 1} = \frac{8 \cdot (\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3} - 1) \cdot (\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} = \frac{8(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1^3} = \frac{8(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{8(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{2}$.
Сокращаем дробь на 2:
$4(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)$.
Ответ: $4(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)$.

4) Рассмотрим знаменатель дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1}$. Если обозначить $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = 1$, то знаменатель можно представить в виде $a^2 - ab + b^2$, так как $(\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1$. Это выражение является неполным квадратом разности.
Чтобы избавиться от иррациональности, используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Домножим числитель и знаменатель на $a + b = \sqrt[3]{2} + 1$.
$\frac{1}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)}{(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1) \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{(\sqrt[3]{2})^3 + 1^3} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{2 + 1} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{2} + 1}{3}$.