Номер 247, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

247. Упростите выражение:

1) $\sqrt{45} - \sqrt{125} + \sqrt{405}$;

2) $(3\sqrt{6} - 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} - \sqrt{108}$;

3) $(\sqrt{99} - \sqrt{44})\sqrt{11}$;

4) $(5 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})$;

5) $(\sqrt{14} - \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11})$;

6) $(2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2$.

1) $\sqrt{45} - \sqrt{125} + \sqrt{405}$

Чтобы упростить выражение, необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$

$\sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = \sqrt{9^2 \cdot 5} = 9\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение и выполним действия:

$3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = (3 - 5 + 9)\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$

Ответ: $7\sqrt{5}$

2) $(3\sqrt{6} - 5\sqrt{8} + 7\sqrt{32})\sqrt{2} - \sqrt{108}$

Сначала упростим корни внутри скобок и последний член выражения:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Подставим эти значения в выражение:

$(3\sqrt{6} - 5(2\sqrt{2}) + 7(4\sqrt{2}))\sqrt{2} - 6\sqrt{3} = (3\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 28\sqrt{2})\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(3\sqrt{6} + 18\sqrt{2})\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt{2}$:

$3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + 18\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 6\sqrt{3} = 3\sqrt{12} + 18 \cdot 2 - 6\sqrt{3}$

Упростим $\sqrt{12}$:

$3\sqrt{4 \cdot 3} + 36 - 6\sqrt{3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} + 36 - 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 36 - 6\sqrt{3}$

Сократим подобные члены:

$36$

Ответ: $36$

3) $(\sqrt{99} - \sqrt{44})\sqrt{11}$

Упростим корни в скобках:

$\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}$

$\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(3\sqrt{11} - 2\sqrt{11})\sqrt{11}$

Выполним вычитание в скобках:

$(1\sqrt{11})\sqrt{11} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{11}$

Вычислим произведение:

$(\sqrt{11})^2 = 11$

Ответ: $11$

4) $(5 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})$

Для раскрытия скобок воспользуемся правилом умножения двух двучленов (методом FOIL):

$5 \cdot 3 + 5 \cdot 2\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7}$

Выполним умножение в каждом члене:

$15 + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 2(\sqrt{7})^2 = 15 + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 2 \cdot 7 = 15 + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 14$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(15 - 14) + (10\sqrt{7} - 3\sqrt{7}) = 1 + 7\sqrt{7}$

Ответ: $1 + 7\sqrt{7}$

5) $(\sqrt{14} - \sqrt{11})(\sqrt{14} + \sqrt{11})$

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{14}$ и $b = \sqrt{11}$. Применим формулу:

$(\sqrt{14})^2 - (\sqrt{11})^2$

Возведем в квадрат:

$14 - 11 = 3$

Ответ: $3$

6) $(2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2$

Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

$(2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

$a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$2ab = 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 12\sqrt{10}$

$b^2 = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Теперь сложим все полученные части:

$20 + 12\sqrt{10} + 18$

Сложим числовые члены:

$38 + 12\sqrt{10}$

Ответ: $38 + 12\sqrt{10}$