Номер 257, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 257, страница 236.

257. Какое из данных неравенств выполняется при всех действительных значениях переменной:

1) $(\sqrt[4]{x})^4 \ge 0;$

2) $\sqrt[4]{x} \ge 0;$

3) $\sqrt[4]{x^4} \ge 0?$

Для того чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях переменной, необходимо проанализировать область определения и значения каждого выражения. Неравенство должно быть определено и верно для любого действительного числа $x$.

1) $(\sqrt[4]{x})^4 \ge 0$

Выражение $\sqrt[4]{x}$ (арифметический корень четвертой степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Это значит, что область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ в данном выражении — это $x \ge 0$. Поскольку неравенство должно выполняться для всех действительных значений, а для любых отрицательных $x$ (например, $x = -1$) левая часть неравенства не определена в области действительных чисел, этот вариант не подходит.
Ответ: Неверно.

2) $\sqrt[4]{x} \ge 0$

Аналогично первому случаю, выражение $\sqrt[4]{x}$ определено только при $x \ge 0$. Для отрицательных значений $x$ оно не имеет смысла в множестве действительных чисел. Следовательно, это неравенство не выполняется для всех действительных значений переменной.
Ответ: Неверно.

3) $\sqrt[4]{x^4} \ge 0$

Рассмотрим выражение в левой части. Подкоренное выражение равно $x^4$. Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), является неотрицательным, то $x^4 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что корень $\sqrt[4]{x^4}$ определен для всех действительных значений $x$.
Воспользуемся тождеством $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применив его к нашему выражению, получим: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Неравенство принимает вид: $|x| \ge 0$.
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, это неравенство справедливо для всех действительных значений переменной $x$.
Ответ: Верно.

Таким образом, единственное неравенство, которое выполняется при всех действительных значениях переменной, — это неравенство под номером 3.