Номер 263, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 263, страница 237.

263. Сколько корней имеет уравнение:

1) $\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 3} = 0;$

2) $(x - 5)\sqrt{x - 4} \cdot \sqrt{(x + 2)(x + 1)} = 0;$

3) $\sqrt{x - 4} \cdot \sqrt[3]{x - 1} \cdot \sqrt[4]{6 - x} = 0?$

1) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют (определены).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Так как все корни являются квадратными (корень четной степени), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$
Решая систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -3 \\ x \ge 3 \end{cases}$
Пересечением этих трех условий является наиболее строгое из них: $x \ge 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, \infty)$.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти потенциальные корни, и проверим, входят ли они в ОДЗ:
1. $\sqrt{x-2} = 0 \implies x-2 = 0 \implies x = 2$. Этот корень не входит в ОДЗ ($2 < 3$), поэтому он является посторонним.
2. $\sqrt{x+3} = 0 \implies x+3 = 0 \implies x = -3$. Этот корень не входит в ОДЗ ($-3 < 3$), поэтому он также является посторонним.
3. $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$. Этот корень входит в ОДЗ ($3 \ge 3$), следовательно, является решением уравнения.

Следовательно, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 1 корень.

2) $(x-5)\sqrt{x-4} \cdot \sqrt{(x+2)(x+1)} = 0$

Найдем ОДЗ уравнения. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ (x+2)(x+1) \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 4$.
Второе неравенство $(x+2)(x+1) \ge 0$ решается методом интервалов. Корни выражения $(x+2)(x+1)$ равны $x=-2$ и $x=-1$. Ветви параболы $y=(x+2)(x+1)$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [-1, \infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $x \ge 4$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [-1, \infty)$. Общим решением будет $x \ge 4$.
ОДЗ: $x \in [4, \infty)$.

Приравняем каждый множитель к нулю и проверим принадлежность корней к ОДЗ:
1. $x-5 = 0 \implies x = 5$. Этот корень входит в ОДЗ ($5 \ge 4$).
2. $\sqrt{x-4} = 0 \implies x-4 = 0 \implies x = 4$. Этот корень входит в ОДЗ ($4 \ge 4$).
3. $\sqrt{(x+2)(x+1)} = 0 \implies (x+2)(x+1) = 0$. Отсюда $x=-2$ или $x=-1$. Оба этих значения не входят в ОДЗ, так как они меньше 4.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x=4$ и $x=5$.
Ответ: 2 корня.

3) $\sqrt{x-4} \cdot \sqrt[3]{x-1} \cdot \sqrt[4]{6-x} = 0$

Найдем ОДЗ. Ограничения накладывают только корни четной степени (квадратный и четвертой степени). Выражение под корнем нечетной степени (кубическим) может быть любым действительным числом, поэтому на ОДЗ оно не влияет.
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 6 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [4, 6]$.

Приравняем каждый множитель к нулю и проверим корни на соответствие ОДЗ:
1. $\sqrt{x-4} = 0 \implies x-4 = 0 \implies x = 4$. Корень $x=4$ принадлежит ОДЗ ($4 \in [4, 6]$).
2. $\sqrt[3]{x-1} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$. Корень $x=1$ не принадлежит ОДЗ ($1 \notin [4, 6]$), поэтому он посторонний.
3. $\sqrt[4]{6-x} = 0 \implies 6-x = 0 \implies x = 6$. Корень $x=6$ принадлежит ОДЗ ($6 \in [4, 6]$).

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x=4$ и $x=6$.
Ответ: 2 корня.