Страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рис. 5

262. На рисунке 5 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 4]$. Какому из данных промежутков принадлежит корень уравнения $\sqrt{f(x)} = 2: $

1) $[2; 4]$

2) $[0; 2]$

3) $[-2; 0]$

4) $[-4; -2]$

5) $[-6; -4]$?

262.

Требуется найти, какому из предложенных промежутков принадлежит корень уравнения $\sqrt{f(x)} = 2$.

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат. Необходимо учесть, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $f(x) \ge 0$.

$(\sqrt{f(x)})^2 = 2^2$

$f(x) = 4$

Условие $f(x) \ge 0$ выполняется, так как $4 > 0$.

Теперь задача сводится к нахождению значения $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно 4. На графике это соответствует нахождению абсциссы точки, ордината которой равна 4.

Проведем на графике горизонтальную прямую $y = 4$. Из рисунка видно, что эта прямая пересекает график функции $y = f(x)$ в одной точке. Абсцисса этой точки пересечения находится на оси $x$ в промежутке между $-4$ и $-2$.

Таким образом, корень уравнения принадлежит промежутку $[-4; -2]$, что соответствует четвертому варианту ответа.

Ответ: 4.

263. 1)

Требуется найти количество корней уравнения $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3} = 0$.

Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -3 \\ x \ge 3 \end{cases}$

Общим решением системы является $x \ge 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [3; +\infty)$.

Теперь рассмотрим случаи, когда каждый из множителей равен нулю:

1. $\sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $2 < 3$.

2. $\sqrt{x+3} = 0 \Rightarrow x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < 3$.

3. $\sqrt{x-3} = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3$. Этот корень принадлежит ОДЗ, так как $3 \ge 3$.

Таким образом, уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: 1.

263. Сколько корней имеет уравнение:

1) $\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 3} = 0;$

2) $(x - 5)\sqrt{x - 4} \cdot \sqrt{(x + 2)(x + 1)} = 0;$

3) $\sqrt{x - 4} \cdot \sqrt[3]{x - 1} \cdot \sqrt[4]{6 - x} = 0?$

1) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют (определены).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Так как все корни являются квадратными (корень четной степени), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$
Решая систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -3 \\ x \ge 3 \end{cases}$
Пересечением этих трех условий является наиболее строгое из них: $x \ge 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, \infty)$.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти потенциальные корни, и проверим, входят ли они в ОДЗ:
1. $\sqrt{x-2} = 0 \implies x-2 = 0 \implies x = 2$. Этот корень не входит в ОДЗ ($2 < 3$), поэтому он является посторонним.
2. $\sqrt{x+3} = 0 \implies x+3 = 0 \implies x = -3$. Этот корень не входит в ОДЗ ($-3 < 3$), поэтому он также является посторонним.
3. $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$. Этот корень входит в ОДЗ ($3 \ge 3$), следовательно, является решением уравнения.

Следовательно, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 1 корень.

2) $(x-5)\sqrt{x-4} \cdot \sqrt{(x+2)(x+1)} = 0$

Найдем ОДЗ уравнения. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ (x+2)(x+1) \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 4$.
Второе неравенство $(x+2)(x+1) \ge 0$ решается методом интервалов. Корни выражения $(x+2)(x+1)$ равны $x=-2$ и $x=-1$. Ветви параболы $y=(x+2)(x+1)$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [-1, \infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $x \ge 4$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [-1, \infty)$. Общим решением будет $x \ge 4$.
ОДЗ: $x \in [4, \infty)$.

Приравняем каждый множитель к нулю и проверим принадлежность корней к ОДЗ:
1. $x-5 = 0 \implies x = 5$. Этот корень входит в ОДЗ ($5 \ge 4$).
2. $\sqrt{x-4} = 0 \implies x-4 = 0 \implies x = 4$. Этот корень входит в ОДЗ ($4 \ge 4$).
3. $\sqrt{(x+2)(x+1)} = 0 \implies (x+2)(x+1) = 0$. Отсюда $x=-2$ или $x=-1$. Оба этих значения не входят в ОДЗ, так как они меньше 4.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x=4$ и $x=5$.
Ответ: 2 корня.

3) $\sqrt{x-4} \cdot \sqrt[3]{x-1} \cdot \sqrt[4]{6-x} = 0$

Найдем ОДЗ. Ограничения накладывают только корни четной степени (квадратный и четвертой степени). Выражение под корнем нечетной степени (кубическим) может быть любым действительным числом, поэтому на ОДЗ оно не влияет.
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 6 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [4, 6]$.

Приравняем каждый множитель к нулю и проверим корни на соответствие ОДЗ:
1. $\sqrt{x-4} = 0 \implies x-4 = 0 \implies x = 4$. Корень $x=4$ принадлежит ОДЗ ($4 \in [4, 6]$).
2. $\sqrt[3]{x-1} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$. Корень $x=1$ не принадлежит ОДЗ ($1 \notin [4, 6]$), поэтому он посторонний.
3. $\sqrt[4]{6-x} = 0 \implies 6-x = 0 \implies x = 6$. Корень $x=6$ принадлежит ОДЗ ($6 \in [4, 6]$).

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x=4$ и $x=6$.
Ответ: 2 корня.

264. Найдите произведение корней уравнения

$(x^2 - 7x + 10) \cdot |3 - x| \cdot \sqrt{4 - x} = 0.$

Для решения уравнения $(x^2 - 7x + 10) \cdot |3 - x| \cdot \sqrt{4 - x} = 0$ в первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4 - x \ge 0$
$x \le 4$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, 4]$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют (то есть значение $x$ входит в ОДЗ). Рассмотрим каждый случай.

1. Первый множитель равен нулю:

$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $7$, а их произведение равно $10$. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 2$
$x_2 = 5$
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ ($x \le 4$):
- $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \le 4$), значит, это корень исходного уравнения.
- $x_2 = 5$ не удовлетворяет условию ($5 \not\le 4$), значит, это посторонний корень.

2. Второй множитель равен нулю:

$|3 - x| = 0$
Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю:
$3 - x = 0$
$x_3 = 3$
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \le 4$):
- $x_3 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \le 4$), значит, это корень исходного уравнения.

3. Третий множитель равен нулю:

$\sqrt{4 - x} = 0$
Квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:
$4 - x = 0$
$x_4 = 4$
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \le 4$):
- $x_4 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \le 4$), значит, это корень исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $2$, $3$ и $4$.

Найдем произведение этих корней:
$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24

265. Решите уравнение $ \sqrt[4]{x-4} + 2\sqrt{4-x} = x^2-5x+4 $

Для решения уравнения $ \sqrt[4]{x-4} + 2\sqrt{4-x} = x^2 - 5x + 4 $ найдем сначала его область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется из условий, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными, так как корень четной степени извлекается только из неотрицательного числа. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

$ \begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 4 \end{cases} $

Единственным значением $x$, которое одновременно не меньше четырех и не больше четырех, является $x = 4$. Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из единственного числа.

Это означает, что если уравнение имеет решение, то этим решением может быть только $x = 4$. Для проверки подставим это значение в исходное уравнение.

Проверка для $x = 4$:

Левая часть уравнения:

$ \sqrt[4]{4 - 4} + 2\sqrt{4 - 4} = \sqrt[4]{0} + 2\sqrt{0} = 0 + 2 \cdot 0 = 0 $

Правая часть уравнения:

$ (4)^2 - 5(4) + 4 = 16 - 20 + 4 = -4 + 4 = 0 $

Поскольку левая часть равна правой ($0 = 0$), значение $x = 4$ является корнем уравнения. Так как это единственное значение из ОДЗ, других корней у уравнения нет.

Ответ: $4$.

266. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{4x + 3};$

2) $\sqrt{3x - 3} = \sqrt{4x^2 - 6x - 1};$

3) $\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 4} = 2;$

4) $\sqrt{x + 7} = x + 5;$

5) $\sqrt{x^2 + 2x - 12} = \sqrt{3x};$

6) $\sqrt{x^2 + x - 4} = \sqrt{-2x};$

7) $\sqrt{x + 5} - \sqrt{8 - x} = 1;$

8) $\sqrt{2x - 4} - \sqrt{x - 1} = 1;$

9) $\sqrt{3x - 6} + \sqrt{x - 4} = 4;$

10) $2\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 2} = 1.$

1) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{4x + 3}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 4x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 2 \\ 4x \ge -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ x \ge -\frac{3}{4} \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge \frac{2}{3}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt{3x - 2})^2 = (\sqrt{4x + 3})^2$
$3x - 2 = 4x + 3$
$3x - 4x = 3 + 2$
$-x = 5$
$x = -5$
Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-5 < \frac{2}{3}$, корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Ответ: нет корней.

2) $\sqrt{3x - 3} = \sqrt{4x^2 - 6x - 1}$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 3 \ge 0 \\ 4x^2 - 6x - 1 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства: $3x \ge 3 \implies x \ge 1$.
Для второго неравенства найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 6x - 1 = 0$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 36 + 16 = 52$
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{4}$.
Неравенство $4x^2 - 6x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{3-\sqrt{13}}{4}] \cup [\frac{3+\sqrt{13}}{4}, +\infty)$.
Учитывая, что $x \ge 1$ и $\frac{3+\sqrt{13}}{4} \approx \frac{3+3.6}{4} \approx 1.65 > 1$, ОДЗ: $x \ge \frac{3+\sqrt{13}}{4}$.
Возведем обе части в квадрат:
$3x - 3 = 4x^2 - 6x - 1$
$4x^2 - 9x + 2 = 0$
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge \frac{3+\sqrt{13}}{4} \approx 1.65$.
$x_1 = 1/4$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1.65$).
Ответ: $2$.

3) $\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 4} = 2$
Уравнение можно переписать как $\sqrt{(x-1)(x-4)} = 2$.
ОДЗ:
$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x - 1)(x - 4) = 4$
$x^2 - 4x - x + 4 = 4$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 5$
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge 4$.
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $5$.

4) $\sqrt{x + 7} = x + 5$
ОДЗ:
$\begin{cases} x + 7 \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \end{cases}$ (правая часть уравнения не может быть отрицательной).
$\begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge -5 \end{cases} \implies x \ge -5$.
Возведем обе части в квадрат:
$x + 7 = (x + 5)^2$
$x + 7 = x^2 + 10x + 25$
$x^2 + 9x + 18 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = -6$.
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge -5$.
$x_1 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

5) $\sqrt{x^2 + 2x - 12} = \sqrt{3x}$
ОДЗ:
$\begin{cases} 3x \ge 0 \\ x^2 + 2x - 12 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $x \ge 0$.
Для второго найдем корни $x^2 + 2x - 12 = 0$:
$D = 2^2 - 4(1)(-12) = 4 + 48 = 52$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} = -1 \pm \sqrt{13}$.
Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1-\sqrt{13}] \cup [-1+\sqrt{13}, +\infty)$.
Совмещая с $x \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \ge -1+\sqrt{13}$.
Возводим в квадрат:
$x^2 + 2x - 12 = 3x$
$x^2 - x - 12 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge -1+\sqrt{13} \approx 2.6$.
$x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $4$.

6) $\sqrt{x^2 + x - 4} = \sqrt{-2x}$
ОДЗ:
$\begin{cases} -2x \ge 0 \\ x^2 + x - 4 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $x \le 0$.
Для второго найдем корни $x^2 + x - 4 = 0$:
$D = 1^2 - 4(1)(-4) = 17$
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.
Совмещая с $x \le 0$, получаем ОДЗ: $x \le \frac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
Возводим в квадрат:
$x^2 + x - 4 = -2x$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.
Проверим корни по ОДЗ: $x \le \frac{-1-\sqrt{17}}{2} \approx -2.56$.
$x_1 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-4$.

7) $\sqrt{x + 5} - \sqrt{8 - x} = 1$
Перенесем один из корней в правую часть: $\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{8 - x}$.
ОДЗ:
$\begin{cases} x + 5 \ge 0 \\ 8 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 8 \end{cases} \implies -5 \le x \le 8$.
Возведем в квадрат:
$x + 5 = (1 + \sqrt{8 - x})^2$
$x + 5 = 1 + 2\sqrt{8 - x} + (8 - x)$
$x + 5 = 9 - x + 2\sqrt{8 - x}$
$2x - 4 = 2\sqrt{8 - x}$
$x - 2 = \sqrt{8 - x}$
Так как корень не может быть отрицательным, $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. С учетом ОДЗ, $2 \le x \le 8$.
Снова возведем в квадрат:
$(x - 2)^2 = 8 - x$
$x^2 - 4x + 4 = 8 - x$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.
Проверим корни по условию $2 \le x \le 8$.
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $4$.

8) $\sqrt{2x - 4} - \sqrt{x - 1} = 1$
Перенесем корень: $\sqrt{2x - 4} = 1 + \sqrt{x - 1}$.
ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 2$.
Возведем в квадрат:
$2x - 4 = (1 + \sqrt{x - 1})^2$
$2x - 4 = 1 + 2\sqrt{x - 1} + (x - 1)$
$2x - 4 = x + 2\sqrt{x - 1}$
$x - 4 = 2\sqrt{x - 1}$
Требуется, чтобы $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. С учетом ОДЗ, $x \ge 4$.
Снова возводим в квадрат:
$(x - 4)^2 = (2\sqrt{x - 1})^2$
$x^2 - 8x + 16 = 4(x - 1)$
$x^2 - 8x + 16 = 4x - 4$
$x^2 - 12x + 20 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 10$, $x_2 = 2$.
Проверим корни по условию $x \ge 4$.
$x_1 = 10$ удовлетворяет условию.
$x_2 = 2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $10$.

9) $\sqrt{3x - 6} + \sqrt{x - 4} = 4$
ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 6 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.
Уединим один из корней: $\sqrt{3x - 6} = 4 - \sqrt{x - 4}$.
Так как $\sqrt{3x-6} \ge 0$, то $4 - \sqrt{x - 4} \ge 0 \implies 4 \ge \sqrt{x - 4}$.
Возведя в квадрат, получим $16 \ge x - 4 \implies x \le 20$.
Таким образом, искомые корни должны лежать в промежутке $4 \le x \le 20$.
Возведем в квадрат уравнение $\sqrt{3x - 6} = 4 - \sqrt{x - 4}$:
$3x - 6 = 16 - 8\sqrt{x - 4} + (x - 4)$
$3x - 6 = 12 + x - 8\sqrt{x - 4}$
$2x - 18 = -8\sqrt{x - 4}$
$9 - x = 4\sqrt{x - 4}$
Чтобы левая часть была неотрицательной, $9-x \ge 0 \implies x \le 9$.
С учетом предыдущих ограничений, $4 \le x \le 9$.
Возводим в квадрат еще раз:
$(9 - x)^2 = 16(x - 4)$
$81 - 18x + x^2 = 16x - 64$
$x^2 - 34x + 145 = 0$
$D = (-34)^2 - 4(1)(145) = 1156 - 580 = 576 = 24^2$
$x_1 = \frac{34 - 24}{2} = 5$
$x_2 = \frac{34 + 24}{2} = 29$
Проверяем корни по условию $4 \le x \le 9$.
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию.
$x_2 = 29$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $5$.

10) $2\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 2} = 1$
Перепишем: $2\sqrt{x - 3} = 1 + \sqrt{x + 2}$.
ОДЗ:
$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge -2 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Возведем в квадрат:
$4(x - 3) = (1 + \sqrt{x + 2})^2$
$4x - 12 = 1 + 2\sqrt{x + 2} + (x + 2)$
$4x - 12 = x + 3 + 2\sqrt{x + 2}$
$3x - 15 = 2\sqrt{x + 2}$
Левая часть должна быть неотрицательна: $3x - 15 \ge 0 \implies x \ge 5$. С учетом ОДЗ, $x \ge 5$.
Снова возводим в квадрат:
$(3x - 15)^2 = 4(x + 2)$
$9(x - 5)^2 = 4(x + 2)$
$9(x^2 - 10x + 25) = 4x + 8$
$9x^2 - 90x + 225 = 4x + 8$
$9x^2 - 94x + 217 = 0$
$D = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 - 7812 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{94 - 32}{18} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$
$x_2 = \frac{94 + 32}{18} = \frac{126}{18} = 7$
Проверяем корни по условию $x \ge 5$.
$x_1 = 31/9 \approx 3.44$ не удовлетворяет условию.
$x_2 = 7$ удовлетворяет условию.
Ответ: $7$.

267.Найдите сумму корней уравнения $\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} = 3$.

Для решения иррационального уравнения $\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} = 3$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Таким образом, ОДЗ для $x$ есть промежуток $[-2, 3]$.

Теперь решим само уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2})^2 = 3^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{3-x})^2 + 2\sqrt{(3-x)(x+2)} + (\sqrt{x+2})^2 = 9$

$3 - x + 2\sqrt{3x + 6 - x^2 - 2x} + x + 2 = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$5 + 2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 9$

Уединим радикал:

$2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 9 - 5$

$2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 4$

$\sqrt{-x^2 + x + 6} = 2$

Снова возведем обе части в квадрат:

$-x^2 + x + 6 = 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + x + 6 - 4 = 0$

$-x^2 + x + 2 = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $[-2, 3]$.

Для $x_1 = 2$: $-2 \le 2 \le 3$. Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-2 \le -1 \le 3$. Корень подходит.

Так как при решении мы возводили уравнение в квадрат, необходимо выполнить проверку подстановкой найденных корней в исходное уравнение $\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} = 3$.

При $x=2$: $\sqrt{3-2} + \sqrt{2+2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.

При $x=-1$: $\sqrt{3-(-1)} + \sqrt{-1+2} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Найдем сумму корней: $2 + (-1) = 1$.

Ответ: 1

268. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0;$

2) $2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0;$

3) $\sqrt[3]{4 - 4x + x^2} - \sqrt[3]{2 - x} - 2 = 0;$

4) $x^2 - 16x - \sqrt{x^2 - 16x + 8} = 12;$

5) $\sqrt{\frac{3x}{x - 1}} - 2\sqrt{\frac{x - 1}{3x}} = 1;$

6) $\sqrt{3x^2 - 6x + 7} = 7 + 2x - x^2.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корней четной степени: $x \geq 0$.
Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt[4]{x}$ по определению неотрицателен, то $t \geq 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \geq 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = 1$:
$\sqrt[4]{x} = 1$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x = 1^4$
$x_1 = 1$
2. Для $t_2 = 2$:
$\sqrt[4]{x} = 2$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x = 2^4$
$x_2 = 16$
Оба найденных значения, $1$ и $16$, удовлетворяют ОДЗ ($x \geq 0$).
Ответ: $1; 16$.

2) Дано уравнение $2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0$.
ОДЗ: из-за наличия корня шестой степени, $x \geq 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[6]{x})^2 = \sqrt[3]{x}$. Условие для новой переменной: $t \geq 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$2t^2 + 5t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_2 = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в шестую степень:
$x = (\frac{1}{2})^6$
$x = \frac{1}{64}$
Найденный корень $x = \frac{1}{64}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 0$).
Ответ: $\frac{1}{64}$.

3) Дано уравнение $\sqrt[3]{4 - 4x + x^2} - \sqrt[3]{2 - x} - 2 = 0$.
ОДЗ для кубических корней — все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.
Заметим, что выражение под первым корнем является полным квадратом: $4 - 4x + x^2 = (2-x)^2$.
Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{(2-x)^2} - \sqrt[3]{2 - x} - 2 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{2 - x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[3]{2 - x})^2 = \sqrt[3]{(2-x)^2}$.
Подставим $t$ в уравнение:
$t^2 - t - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1. Для $t_1 = 2$:
$\sqrt[3]{2 - x} = 2$
$2 - x = 2^3 = 8$
$x = 2 - 8$
$x_1 = -6$
2. Для $t_2 = -1$:
$\sqrt[3]{2 - x} = -1$
$2 - x = (-1)^3 = -1$
$x = 2 - (-1) = 3$
$x_2 = 3$
Ответ: $-6; 3$.

4) Дано уравнение $x^2 - 16x - \sqrt{x^2 - 16x + 8} = 12$.
ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 16x + 8 \geq 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 16x + 8}$. Тогда $t \geq 0$.
Из замены следует, что $t^2 = x^2 - 16x + 8$, откуда $x^2 - 16x = t^2 - 8$.
Подставим в исходное уравнение:
$(t^2 - 8) - t = 12$
$t^2 - t - 20 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 5$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому он посторонний.
Остается единственный корень $t = 5$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 - 16x + 8} = 5$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 16x + 8 = 25$
$x^2 - 16x - 17 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 17$ и $x_2 = -1$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x^2 - 16x + 8 \geq 0$):
- Для $x = 17$: $17^2 - 16 \cdot 17 + 8 = 289 - 272 + 8 = 25 \geq 0$. Корень подходит.
- Для $x = -1$: $(-1)^2 - 16 \cdot (-1) + 8 = 1 + 16 + 8 = 25 \geq 0$. Корень подходит.
Ответ: $-1; 17$.

5) Дано уравнение $\sqrt{\frac{3x}{x-1}} - 2\sqrt{\frac{x-1}{3x}} = 1$.
ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Оба условия сводятся к одному неравенству: $\frac{3x}{x-1} > 0$.
Решая это неравенство методом интервалов, находим ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{3x}{x-1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-1}{3x}} = \frac{1}{t}$. Так как $t$ - это квадратный корень, $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t - \frac{2}{t} = 1$
Так как $t \neq 0$, умножим обе части уравнения на $t$:
$t^2 - 2 = t$
$t^2 - t - 2 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t = 2$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{\frac{3x}{x-1}} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{3x}{x-1} = 4$
$3x = 4(x-1)$
$3x = 4x - 4$
$x = 4$
Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 \in (1, +\infty)$.
Ответ: $4$.

6) Дано уравнение $\sqrt{3x^2 - 6x + 7} = 7 + 2x - x^2$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$.
Применим это к нашему уравнению:
$\begin{cases} 3x^2 - 6x + 7 = (7 + 2x - x^2)^2 \\ 7 + 2x - x^2 \geq 0 \end{cases}$
Рассмотрим правую часть уравнения. Преобразуем ее: $7 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 7)$.
Выражение под корнем также можно преобразовать: $3x^2 - 6x + 7 = 3(x^2 - 2x) + 7$.
Сделаем замену $y = x^2 - 2x$. Уравнение примет вид:
$\sqrt{3y + 7} = 7 - y$
Это уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3y + 7 = (7-y)^2 \\ 7-y \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 3y + 7 = 49 - 14y + y^2 \\ y \leq 7 \end{cases}$
Решим первое уравнение системы:
$y^2 - 17y + 42 = 0$
По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = 14$.
Проверим выполнение условия $y \leq 7$:
- $y_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \leq 7$).
- $y_2 = 14$ не удовлетворяет условию ($14 > 7$), это посторонний корень.
Единственное решение для $y$ - это $y = 3$.
Выполним обратную замену:
$x^2 - 2x = 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверка исходного условия $7 + 2x - x^2 \geq 0$ для найденных корней:
- Для $x = 3$: $7 + 2(3) - 3^2 = 7 + 6 - 9 = 4 \geq 0$. Корень подходит.
- Для $x = -1$: $7 + 2(-1) - (-1)^2 = 7 - 2 - 1 = 4 \geq 0$. Корень подходит.
Ответ: $-1; 3$.

269. Найдите целые корни уравнения $\sqrt{2 - x} + \sqrt[6]{x + 3} = 3$.

Для решения уравнения $\sqrt{2-x} + \sqrt[6]{x+3} = 3$ найдем сначала область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \geq 0$, что эквивалентно $x \leq 2$.

2. Выражение под корнем шестой степени также должно быть неотрицательным: $x + 3 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq -3$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ для $x$: $-3 \leq x \leq 2$.

По условию задачи, нам необходимо найти целые корни. Целые числа, принадлежащие найденной области допустимых значений, это: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$. Проверим каждое из этих значений путем подстановки в исходное уравнение.

• При $x = -3$: $\sqrt{2 - (-3)} + \sqrt[6]{-3 + 3} = \sqrt{5} + \sqrt[6]{0} = \sqrt{5} \neq 3$.
• При $x = -2$: $\sqrt{2 - (-2)} + \sqrt[6]{-2 + 3} = \sqrt{4} + \sqrt[6]{1} = 2 + 1 = 3$. Равенство верно, значит $x = -2$ является корнем уравнения.
• При $x = -1$: $\sqrt{2 - (-1)} + \sqrt[6]{-1 + 3} = \sqrt{3} + \sqrt[6]{2} \neq 3$.
• При $x = 0$: $\sqrt{2 - 0} + \sqrt[6]{0 + 3} = \sqrt{2} + \sqrt[6]{3} \neq 3$.
• При $x = 1$: $\sqrt{2 - 1} + \sqrt[6]{1 + 3} = \sqrt{1} + \sqrt[6]{4} = 1 + \sqrt[3]{2} \neq 3$.
• При $x = 2$: $\sqrt{2 - 2} + \sqrt[6]{2 + 3} = \sqrt{0} + \sqrt[6]{5} = \sqrt[6]{5} \neq 3$.

Единственным целым числом из ОДЗ, которое удовлетворяет уравнению, является $x = -2$.

Для дополнительного анализа и подтверждения единственности решения можно использовать метод замены переменных. Пусть $a = \sqrt{2-x}$ и $b = \sqrt[6]{x+3}$. Так как корни арифметические, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Тогда исходное уравнение принимает вид $a+b=3$.

Выразим $x$ через $a$ и $b$: $a^2 = 2-x \implies x = 2 - a^2$. $b^6 = x+3 \implies x = b^6 - 3$.

Приравняем выражения для $x$: $2 - a^2 = b^6 - 3 \implies a^2 + b^6 = 5$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 + b^6 = 5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a = 3-b$ и подставим во второе: $(3-b)^2 + b^6 = 5$ $9 - 6b + b^2 + b^6 = 5$ $b^6 + b^2 - 6b + 4 = 0$

Мы уже знаем, что целому корню $x = -2$ соответствует значение $b = \sqrt[6]{-2+3} = \sqrt[6]{1} = 1$. Проверим, является ли $b=1$ корнем полученного полиномиального уравнения: $1^6 + 1^2 - 6(1) + 4 = 1 + 1 - 6 + 4 = 0$. Это верное равенство, что подтверждает правильность найденного решения. Анализ функции $g(b) = b^6 + b^2 - 6b + 4$ показывает, что у нее есть только два действительных корня: $b=1$ и еще один иррациональный корень. Иррациональный корень для $b$ приведет к иррациональному значению $x$, поэтому единственным целым решением исходного уравнения является то, которое соответствует $b=1$.

Ответ: -2