Страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

314. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 0.2n + 5$. Найдите сумму двадцати шести первых членов прогрессии.

Для того чтобы найти сумму двадцати шести первых членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

В данном задании нам нужно найти $S_{26}$, поэтому $n = 26$. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 0,2n + 5$.

Для вычисления суммы нам необходимо найти первый ($a_1$) и двадцать шестой ($a_{26}$) члены прогрессии.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив в формулу $n = 1$:
$a_1 = 0,2 \cdot 1 + 5 = 0,2 + 5 = 5,2$.

2. Найдем двадцать шестой член прогрессии $a_{26}$, подставив в формулу $n = 26$:
$a_{26} = 0,2 \cdot 26 + 5 = 5,2 + 5 = 10,2$.

3. Теперь, когда у нас есть значения $a_1 = 5,2$, $a_{26} = 10,2$ и $n = 26$, мы можем вычислить сумму $S_{26}$:
$S_{26} = \frac{a_1 + a_{26}}{2} \cdot 26$
$S_{26} = \frac{5,2 + 10,2}{2} \cdot 26$
$S_{26} = \frac{15,4}{2} \cdot 26$
$S_{26} = 7,7 \cdot 26$
$S_{26} = 200,2$.

Ответ: 200,2.

315. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 6, a_{14} = 45;$

2) $a_6 = 34, a_{14} = -54.$

Для решения задачи нам понадобится формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Также нам понадобится формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. В обоих случаях нам нужно найти сумму первых десяти членов, т.е. $S_{10}$. Подставив $n=10$ в формулу суммы, получим: $S_{10} = \frac{2a_1 + (10-1)d}{2} \cdot 10 = (2a_1 + 9d) \cdot 5$.

По условию нам даны $a_1 = 6$ и $a_{14} = 45$. Нам уже известен первый член $a_1$. Теперь найдем разность прогрессии $d$.

Используем формулу n-го члена для $a_{14}$:

$a_{14} = a_1 + (14-1)d$

Подставим известные значения:

$45 = 6 + 13d$

Решим уравнение относительно $d$:

$13d = 45 - 6$

$13d = 39$

$d = \frac{39}{13} = 3$

Теперь, зная $a_1=6$ и $d=3$, можем вычислить сумму первых десяти членов $S_{10}$:

$S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 5(2 \cdot 6 + 9 \cdot 3) = 5(12 + 27) = 5 \cdot 39 = 195$.

Ответ: 195

По условию нам даны $a_6 = 34$ и $a_{14} = -54$. В этом случае нам неизвестны ни первый член $a_1$, ни разность $d$. Найдем их, составив систему уравнений, используя формулу n-го члена.

Для $a_6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d \Rightarrow 34 = a_1 + 5d$

Для $a_{14}$: $a_{14} = a_1 + (14-1)d \Rightarrow -54 = a_1 + 13d$

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 34 \\ a_1 + 13d = -54 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 13d) - (a_1 + 5d) = -54 - 34$

$8d = -88$

$d = \frac{-88}{8} = -11$

Теперь подставим значение $d=-11$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 5(-11) = 34$

$a_1 - 55 = 34$

$a_1 = 34 + 55 = 89$

Теперь, зная $a_1=89$ и $d=-11$, можем вычислить сумму $S_{10}$:

$S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 5(2 \cdot 89 + 9 \cdot (-11)) = 5(178 - 99) = 5 \cdot 79 = 395$.

Ответ: 395

316. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{15} = 71$, $d = 6.5$.

Для нахождения суммы первых пятнадцати членов арифметической прогрессии $S_{15}$ воспользуемся формулой суммы:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В условии задачи даны: число членов $n=15$, значение пятнадцатого члена $a_{15} = 71$ и разность прогрессии $d = 6.5$. Для использования формулы суммы нам необходимо сначала найти первый член прогрессии, $a_1$.

Найдем $a_1$ с помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим известные значения для $n=15$:

$a_{15} = a_1 + (15-1)d$

$71 = a_1 + 14 \cdot 6.5$

Вычислим произведение в правой части уравнения:

$14 \cdot 6.5 = 91$

Теперь решим уравнение относительно $a_1$:

$71 = a_1 + 91$

$a_1 = 71 - 91$

$a_1 = -20$

Теперь, когда мы знаем первый и пятнадцатый члены прогрессии, мы можем вычислить их сумму:

$S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{-20 + 71}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{51}{2} \cdot 15$

$S_{15} = 25.5 \cdot 15$

$S_{15} = 382.5$

Ответ: $382.5$.

317. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 3n^2 - 4n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Нам дана формула для вычисления суммы $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии: $S_n = 3n^2 - 4n$. Наша задача — найти первый член $a_1$ и разность $d$ этой прогрессии. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Последовательное нахождение членов прогрессии

1. Нахождение первого члена ($a_1$)

Сумма первого члена прогрессии, $S_1$, по определению равна самому первому члену, $a_1$. Чтобы найти $a_1$, подставим в данную формулу значение $n = 1$:

$a_1 = S_1 = 3(1)^2 - 4(1) = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1$.

Итак, первый член прогрессии равен -1.

2. Нахождение разности ($d$)

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разнице между любым членом прогрессии и предыдущим, например, $d = a_2 - a_1$. Мы уже нашли $a_1$, теперь найдем $a_2$.

Второй член $a_2$ можно найти из соотношения $a_2 = S_2 - S_1$. Мы уже знаем, что $S_1 = a_1 = -1$. Вычислим $S_2$, подставив $n = 2$ в исходную формулу:

$S_2 = 3(2)^2 - 4(2) = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.

Теперь найдем $a_2$:

$a_2 = S_2 - S_1 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

Зная первый и второй члены прогрессии, вычислим её разность:

$d = a_2 - a_1 = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$.

Способ 2: Сравнение с общей формулой суммы

Общая формула для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$

Раскроем скобки и приведём её к виду многочлена относительно $n$:

$S_n = \frac{2a_1n + dn^2 - dn}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \frac{2a_1 - d}{2}n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n$

Теперь сравним коэффициенты в этой общей формуле с коэффициентами в формуле, данной в условии задачи: $S_n = 3n^2 - 4n$.

Приравнивая коэффициенты при $n^2$, получаем:

$\frac{d}{2} = 3 \Rightarrow d = 6$.

Приравнивая коэффициенты при $n$, получаем:

$a_1 - \frac{d}{2} = -4$.

Подставим в это уравнение найденное значение $\frac{d}{2}=3$:

$a_1 - 3 = -4 \Rightarrow a_1 = -4 + 3 = -1$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: первый член прогрессии равен -1, разность прогрессии равна 6.

318. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 11, которые не больше 341.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 11 и при этом не превышают 341. Такие числа образуют конечную арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 11, то есть $a_1 = 11$.

Каждый следующий член прогрессии на 11 больше предыдущего, следовательно, разность прогрессии $d = 11$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее число, кратное 11, которое не больше 341. Чтобы определить его, разделим 341 на 11:

$341 \div 11 = 31$

Поскольку 341 делится на 11 нацело, оно и является последним членом нашей прогрессии: $a_n = 341$.

Теперь определим количество членов ($n$) в этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в формулу:

$341 = 11 + (n-1) \cdot 11$

Вычтем 11 из обеих частей уравнения:

$330 = (n-1) \cdot 11$

Разделим обе части на 11:

$30 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 31$

Таким образом, в последовательности 31 число.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используем формулу:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения $a_1=11$, $a_n=341$ и $n=31$:

$S_{31} = \frac{11 + 341}{2} \cdot 31$

$S_{31} = \frac{352}{2} \cdot 31$

$S_{31} = 176 \cdot 31$

$S_{31} = 5456$

Ответ: 5456

319. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые не больше 156.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые не больше 156. Эти числа составляют конечную арифметическую прогрессию.

1. Определим параметры арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 9. Таким образом, $a_1 = 9$.

Разность прогрессии ($d$), очевидно, равна 9, так как мы рассматриваем числа, кратные 9.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$).

Последний член прогрессии должен быть не больше 156. Чтобы найти его, разделим 156 на 9: $156 \div 9 = 17$ и остаток 3.

Это означает, что наибольшее число, которое не превышает 156 и делится на 9, равно $9 \times 17 = 153$. Итак, $a_n = 153$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$).

Количество членов прогрессии соответствует множителю 17, который мы нашли на предыдущем шаге. То есть, в последовательности $9 \times 1, 9 \times 2, \dots, 9 \times 17$ всего 17 членов. Значит, $n = 17$.

4. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$).

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в формулу найденные значения: $a_1 = 9$, $a_n = 153$, $n = 17$. $S_{17} = \frac{9 + 153}{2} \cdot 17$

$S_{17} = \frac{162}{2} \cdot 17$

$S_{17} = 81 \cdot 17$

$S_{17} = 1377$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 9, которые не больше 156, равна 1377.

Ответ: 1377

320. Сумма шестого и двадцать пятого членов арифметической прогрессии равна 14. Найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Используя эту формулу, выразим шестой ($a_6$) и двадцать пятый ($a_{25}$) члены прогрессии:

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$

По условию задачи, их сумма равна 14:

$a_6 + a_{25} = 14$

Подставим полученные выражения в это уравнение:

$(a_1 + 5d) + (a_1 + 24d) = 14$

Сгруппируем и упростим:

$2a_1 + 29d = 14$

Теперь нам нужно найти сумму первых тридцати членов этой прогрессии ($S_{30}$). Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Применим эту формулу для $n=30$:

$S_{30} = \frac{2a_1 + (30-1)d}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30$

Мы уже знаем из предыдущего шага, что выражение в числителе $2a_1 + 29d$ равно 14. Подставим это значение в формулу для $S_{30}$:

$S_{30} = \frac{14}{2} \cdot 30$

Выполним вычисления:

$S_{30} = 7 \cdot 30 = 210$

Ответ: 210

321. Найдите сумму первых тридцати пяти членов арифметической прогрессии, если её восемнадцатый член равен 8.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии. Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Нам необходимо найти сумму первых тридцати пяти членов, то есть $S_{35}$. Подставим $n=35$ в формулу: $S_{35} = \frac{2a_1 + (35-1)d}{2} \cdot 35 = \frac{2a_1 + 34d}{2} \cdot 35$.

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь: $S_{35} = \frac{2(a_1 + 17d)}{2} \cdot 35 = (a_1 + 17d) \cdot 35$.

Теперь воспользуемся условием, что восемнадцатый член прогрессии равен 8. Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для восемнадцатого члена ($n=18$) получаем: $a_{18} = a_1 + (18-1)d = a_1 + 17d$.

Поскольку по условию задачи $a_{18} = 8$, мы можем заключить, что: $a_1 + 17d = 8$.

Теперь подставим это значение в полученное ранее выражение для суммы $S_{35}$: $S_{35} = (a_1 + 17d) \cdot 35 = 8 \cdot 35$.

Вычисляем окончательный результат: $S_{35} = 280$.

Ответ: 280

322. Вычислите сумму первых пятнадцати чётных натуральных чисел.

Для решения этой задачи необходимо найти сумму первых 15 четных натуральных чисел. Последовательность четных натуральных чисел представляет собой арифметическую прогрессию.

Первые члены этой последовательности: 2, 4, 6, 8, ...

Параметры этой арифметической прогрессии:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 2$
• Разность прогрессии: $d = 4 - 2 = 2$
• Количество членов, сумму которых нужно найти: $n = 15$

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии можно использовать формулу:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим значения в эту формулу:
$S_{15} = \frac{2 \cdot 2 + 2(15-1)}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{4 + 2 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{4 + 28}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{32}{2} \cdot 15$
$S_{15} = 16 \cdot 15$
$S_{15} = 240$

Альтернативный способ:
Можно сначала найти последний, пятнадцатый, член прогрессии по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$:
$a_{15} = 2 + 2(15-1) = 2 + 2 \cdot 14 = 2 + 28 = 30$
Затем использовать другую формулу для суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
$S_{15} = \frac{2 + 30}{2} \cdot 15 = \frac{32}{2} \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240$

Ответ: 240

323. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных числу 8.

323.

Двузначные числа, кратные 8, представляют собой последовательность, которая является арифметической прогрессией.

Найдем первый член этой прогрессии ($a_1$). Наименьшее двузначное число — 10. Ближайшее к нему число, кратное 8, — это $8 \times 2 = 16$. Таким образом, $a_1 = 16$.

Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Наибольшее двузначное число — 99. Чтобы найти наибольшее двузначное число, кратное 8, можно разделить 99 на 8 с остатком: $99 \div 8 = 12$ (остаток 3). Следовательно, искомое число равно $8 \times 12 = 96$. Таким образом, $a_n = 96$.

Разность данной арифметической прогрессии ($d$) равна 8, так как мы ищем числа, кратные 8.

Теперь определим количество членов ($n$) в этой прогрессии, используя формулу для n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения: $96 = 16 + (n-1) \times 8$

$80 = (n-1) \times 8$

$n-1 = \frac{80}{8}$

$n-1 = 10$

$n = 11$

Таким образом, существует 11 двузначных чисел, кратных 8.

Для нахождения их суммы ($S_n$) воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.

$S_{11} = \frac{(16 + 96) \times 11}{2}$

$S_{11} = \frac{112 \times 11}{2}$

$S_{11} = 56 \times 11$

$S_{11} = 616$

Ответ: 616

324. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($(b_n)$), если:

1) $b_1 = 108, b_4 = 32;$

2) $b_2 = 6, b_4 = 30.$

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Эта формула связывает два любых члена прогрессии $b_n$ и $b_k$.

1) Дано: $b_1 = 108$, $b_4 = 32$.
Используем формулу n-го члена для $n=4$ и $k=1$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
Подставим известные значения в это уравнение:
$32 = 108 \cdot q^3$
Теперь выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{32}{108}$
Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 4:
$q^3 = \frac{32 \div 4}{108 \div 4} = \frac{8}{27}$
Чтобы найти $q$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $q = \frac{2}{3}$.

2) Дано: $b_2 = 6$, $b_4 = 30$.
Используем формулу n-го члена для $n=4$ и $k=2$:
$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2}$
$b_4 = b_2 \cdot q^2$
Подставим известные значения в это уравнение:
$30 = 6 \cdot q^2$
Выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{30}{6}$
$q^2 = 5$
Чтобы найти $q$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. В этом случае возможны два решения: положительное и отрицательное.
$q = \pm\sqrt{5}$
Ответ: $q = \sqrt{5}$ или $q = -\sqrt{5}$.

325. Найдите первый член геометрической прогрессии ( $c_n$ ), если $c_4 = 40$, $c_7 = -320$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($c_1$) воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам даны два члена прогрессии:

$c_4 = 40$

$c_7 = -320$

Запишем эти условия, используя формулу n-го члена:

$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3 = 40$

$c_7 = c_1 \cdot q^{7-1} = c_1 \cdot q^6 = -320$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными, $c_1$ и $q$. Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{c_1 \cdot q^6}{c_1 \cdot q^3} = \frac{-320}{40}$

Сократив $c_1$ и применив свойство степеней, получим:

$q^{6-3} = -8$

$q^3 = -8$

Из этого уравнения находим $q$:

$q = \sqrt[3]{-8} = -2$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q = -2$, мы можем найти первый член $c_1$. Подставим значение $q$ в первое уравнение $c_1 \cdot q^3 = 40$:

$c_1 \cdot (-2)^3 = 40$

$c_1 \cdot (-8) = 40$

$c_1 = \frac{40}{-8}$

$c_1 = -5$

Ответ: -5

326. Число 192 является членом геометрической прогрессии $ \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3, ... $

Найдите номер этого члена.

Пусть дана геометрическая прогрессия ($b_n$), в которой известны первые члены: $b_1 = \frac{3}{4}$, $b_2 = \frac{3}{2}$, $b_3 = 3$, и так далее. Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии, который равен 192, то есть $b_n = 192$.

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии.
Знаменатель прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/2}{3/4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2$. Проверим для следующей пары: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$. Итак, знаменатель прогрессии $q = 2$.

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Формула для нахождения любого члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

3. Подставим известные значения и решим уравнение.
Подставим в формулу известные нам значения: $b_n = 192$, $b_1 = \frac{3}{4}$ и $q = 2$. $192 = \frac{3}{4} \cdot 2^{n-1}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала выразим $2^{n-1}$: $2^{n-1} = 192 : \frac{3}{4}$
$2^{n-1} = 192 \cdot \frac{4}{3}$
Чтобы упростить вычисление, сначала разделим 192 на 3: $192 / 3 = 64$. $2^{n-1} = 64 \cdot 4$
$2^{n-1} = 256$

Чтобы найти $n-1$, представим 256 как степень с основанием 2. $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$, $2^8=256$. Таким образом, $256 = 2^8$.

Теперь наше уравнение выглядит так: $2^{n-1} = 2^8$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $n - 1 = 8$
$n = 8 + 1$
$n = 9$

Следовательно, число 192 является девятым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 9

327. Какие три числа надо вставить между числами 48 и 243, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомые три числа вместе с данными числами 48 и 243 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$. В этой прогрессии первый член $b_1 = 48$. Три вставленных числа будут являться вторым, третьим и четвертым членами ($b_2, b_3, b_4$), а число 243 будет пятым членом, то есть $b_5 = 243$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Для $n=5$ формула примет вид: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$.

Подставим известные значения $b_1 = 48$ и $b_5 = 243$, чтобы найти знаменатель $q$:$243 = 48 \cdot q^4$

Выразим из этого уравнения $q^4$:$q^4 = \frac{243}{48}$Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:$q^4 = \frac{81}{16}$

Данное уравнение имеет два действительных корня для $q$:$q_1 = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}$$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{3}{2}$

Следовательно, существуют два возможных набора искомых чисел. Рассмотрим оба случая.

1. Если знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{2}$, то три искомых числа равны:$b_2 = b_1 \cdot q = 48 \cdot \frac{3}{2} = 72$$b_3 = b_2 \cdot q = 72 \cdot \frac{3}{2} = 108$$b_4 = b_3 \cdot q = 108 \cdot \frac{3}{2} = 162$Полученная прогрессия: 48, 72, 108, 162, 243.

2. Если знаменатель прогрессии $q = -\frac{3}{2}$, то три искомых числа равны:$b_2 = b_1 \cdot q = 48 \cdot (-\frac{3}{2}) = -72$$b_3 = b_2 \cdot q = (-72) \cdot (-\frac{3}{2}) = 108$$b_4 = b_3 \cdot q = 108 \cdot (-\frac{3}{2}) = -162$Полученная прогрессия: 48, -72, 108, -162, 243.

Ответ: 72, 108, 162 или -72, 108, -162.

328. При каком значении $x$ значения выражений $2x - 1$; $x + 1$ и $5 - x$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть выражения $b_1 = 2x - 1$, $b_2 = x + 1$ и $b_3 = 5 - x$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Для любой геометрической прогрессии справедливо характеристическое свойство: квадрат каждого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов ($b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$). Применим это свойство для наших выражений:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство заданные выражения и получим уравнение относительно $x$:

$(x + 1)^2 = (2x - 1)(5 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 2x + 1 = 10x - 2x^2 - 5 + x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 1 = -2x^2 + 11x - 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x^2 + 2x - 11x + 1 + 5 = 0$

$3x^2 - 9x + 6 = 0$

Для удобства решения разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых данные выражения образуют геометрическую прогрессию. Теперь найдем члены этой прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. Если $x = 1$:

Подставим значение $x = 1$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:
$b_1 = 2(1) - 1 = 1$
$b_2 = 1 + 1 = 2$
$b_3 = 5 - 1 = 4$
Получаем последовательность: 1, 2, 4. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 2$.

2. Если $x = 2$:

Подставим значение $x = 2$ в исходные выражения:
$b_1 = 2(2) - 1 = 3$
$b_2 = 2 + 1 = 3$
$b_3 = 5 - 2 = 3$
Получаем последовательность: 3, 3, 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1$.

Ответ: При $x=1$ члены прогрессии равны 1, 2, 4. При $x=2$ члены прогрессии равны 3, 3, 3.

329. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_4 = 280, q = 5;$

2) $b_1 = \sqrt{2}, b_5 = 4\sqrt{2}, q < 0.$

1) Дано: $b_4 = 280$, $q = 5$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для нахождения суммы нам нужен первый член прогрессии $b_1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Выразим $b_1$ через $b_4$:

$b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3$.

Подставим известные значения:

$280 = b_1 \cdot 5^3$

$280 = b_1 \cdot 125$

$b_1 = \frac{280}{125} = \frac{56}{25}$.

Теперь найдем сумму четырех первых членов прогрессии $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{56}{25}(5^4 - 1)}{5 - 1} = \frac{\frac{56}{25}(625 - 1)}{4} = \frac{\frac{56}{25} \cdot 624}{4}$.

$S_4 = \frac{56 \cdot 624}{25 \cdot 4} = \frac{14 \cdot 624}{25} = \frac{8736}{25} = 349,44$.

Ответ: $349,44$.

2) Дано: $b_1 = \sqrt{2}$, $b_5 = 4\sqrt{2}$, $q < 0$.

Для нахождения суммы четырех первых членов прогрессии $S_4$ нам необходимо найти знаменатель прогрессии $q$.

Используем формулу n-го члена: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=5$:

$b_5 = b_1 q^{5-1} = b_1 q^4$.

$4\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot q^4$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$q^4 = 4$.

Это уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt{2}$ и $q = -\sqrt{2}$. Так как по условию $q < 0$, выбираем $q = -\sqrt{2}$.

Теперь вычислим сумму $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_4 = \frac{\sqrt{2}((-\sqrt{2})^4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1}$.

Сначала вычислим $(-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = 4$.

$S_4 = \frac{\sqrt{2}(4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{3\sqrt{2}}{-(\sqrt{2} + 1)}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$S_4 = -\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = -\frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = -\frac{6 - 3\sqrt{2}}{2 - 1} = -(6 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 6$.

Ответ: $3\sqrt{2} - 6$.

330. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 72, а знаменатель равен $ \frac{3}{8} $.

Для нахождения первого члена бесконечной геометрической прогрессии используется формула ее суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ – это сумма прогрессии, $b_1$ – ее первый член, а $q$ – ее знаменатель. Эта формула применима, так как знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы ($|q| < 1$).

Из условия задачи известно:

Сумма прогрессии $S = 72$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{8}$.

Подставим известные значения в формулу:

$72 = \frac{b_1}{1 - \frac{3}{8}}$

Чтобы найти $b_1$, сначала вычислим значение в знаменателе:

$1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Теперь уравнение выглядит так:

$72 = \frac{b_1}{\frac{5}{8}}$

Выразим $b_1$:

$b_1 = 72 \cdot \frac{5}{8}$

Выполним умножение, предварительно сократив 72 и 8:

$b_1 = \frac{72}{8} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$

Ответ: 45

331. Найдите пятый член бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен -12, а сумма равна -8.

Обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как $b_1$, знаменатель как $q$, а сумму как $S$.

По условию задачи нам дано:

Первый член $b_1 = -12$.

Сумма прогрессии $S = -8$.

Требуется найти пятый член прогрессии, $b_5$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Эта формула справедлива при условии, что $|q| < 1$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, подставив известные значения $S$ и $b_1$ в формулу:

$-8 = \frac{-12}{1-q}$

Из этого уравнения выразим $(1-q)$:

$1-q = \frac{-12}{-8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $q$:

$q = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Проверим условие $|q| < 1$: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1. Условие выполняется, значит, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

Далее найдем пятый член прогрессии $b_5$ по формуле n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Для $n=5$ формула примет вид:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_1 = -12$ и $q = -\frac{1}{2}$:

$b_5 = -12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = -12 \cdot \frac{(-1)^4}{2^4} = -12 \cdot \frac{1}{16}$

$b_5 = -\frac{12}{16}$

Сократим полученную дробь на 4:

$b_5 = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$