Номер 329, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 329, страница 243.

Учебник.

329. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_4 = 280, q = 5;$

2) $b_1 = \sqrt{2}, b_5 = 4\sqrt{2}, q < 0.$

Решение 2.

1) Дано: $b_4 = 280$, $q = 5$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для нахождения суммы нам нужен первый член прогрессии $b_1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Выразим $b_1$ через $b_4$:

$b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3$.

Подставим известные значения:

$280 = b_1 \cdot 5^3$

$280 = b_1 \cdot 125$

$b_1 = \frac{280}{125} = \frac{56}{25}$.

Теперь найдем сумму четырех первых членов прогрессии $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{56}{25}(5^4 - 1)}{5 - 1} = \frac{\frac{56}{25}(625 - 1)}{4} = \frac{\frac{56}{25} \cdot 624}{4}$.

$S_4 = \frac{56 \cdot 624}{25 \cdot 4} = \frac{14 \cdot 624}{25} = \frac{8736}{25} = 349,44$.

Ответ: $349,44$.

2) Дано: $b_1 = \sqrt{2}$, $b_5 = 4\sqrt{2}$, $q < 0$.

Для нахождения суммы четырех первых членов прогрессии $S_4$ нам необходимо найти знаменатель прогрессии $q$.

Используем формулу n-го члена: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Подставим известные значения для $n=5$:

$b_5 = b_1 q^{5-1} = b_1 q^4$.

$4\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot q^4$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$q^4 = 4$.

Это уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt{2}$ и $q = -\sqrt{2}$. Так как по условию $q < 0$, выбираем $q = -\sqrt{2}$.

Теперь вычислим сумму $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_4 = \frac{\sqrt{2}((-\sqrt{2})^4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1}$.

Сначала вычислим $(-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = 4$.

$S_4 = \frac{\sqrt{2}(4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{3\sqrt{2}}{-(\sqrt{2} + 1)}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$S_4 = -\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = -\frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = -\frac{6 - 3\sqrt{2}}{2 - 1} = -(6 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 6$.

Ответ: $3\sqrt{2} - 6$.