Номер 329, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Прогрессии. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 329, страница 243.
№329 (с. 243)
Учебник. №329 (с. 243)
скриншот условия

329. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если:
1) $b_4 = 280, q = 5;$
2) $b_1 = \sqrt{2}, b_5 = 4\sqrt{2}, q < 0.$
Решение 2. №329 (с. 243)
1) Дано: $b_4 = 280$, $q = 5$.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для нахождения суммы нам нужен первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$.
Выразим $b_1$ через $b_4$:
$b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3$.
Подставим известные значения:
$280 = b_1 \cdot 5^3$
$280 = b_1 \cdot 125$
$b_1 = \frac{280}{125} = \frac{56}{25}$.
Теперь найдем сумму четырех первых членов прогрессии $S_4$:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{56}{25}(5^4 - 1)}{5 - 1} = \frac{\frac{56}{25}(625 - 1)}{4} = \frac{\frac{56}{25} \cdot 624}{4}$.
$S_4 = \frac{56 \cdot 624}{25 \cdot 4} = \frac{14 \cdot 624}{25} = \frac{8736}{25} = 349,44$.
Ответ: $349,44$.
2) Дано: $b_1 = \sqrt{2}$, $b_5 = 4\sqrt{2}$, $q < 0$.
Для нахождения суммы четырех первых членов прогрессии $S_4$ нам необходимо найти знаменатель прогрессии $q$.
Используем формулу n-го члена: $b_n = b_1 q^{n-1}$.
Подставим известные значения для $n=5$:
$b_5 = b_1 q^{5-1} = b_1 q^4$.
$4\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot q^4$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$q^4 = 4$.
Это уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt{2}$ и $q = -\sqrt{2}$. Так как по условию $q < 0$, выбираем $q = -\sqrt{2}$.
Теперь вычислим сумму $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_4 = \frac{\sqrt{2}((-\sqrt{2})^4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1}$.
Сначала вычислим $(-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = 4$.
$S_4 = \frac{\sqrt{2}(4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{3\sqrt{2}}{-(\sqrt{2} + 1)}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:
$S_4 = -\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = -\frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = -\frac{6 - 3\sqrt{2}}{2 - 1} = -(6 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 6$.
Ответ: $3\sqrt{2} - 6$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 329 расположенного на странице 243 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №329 (с. 243), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.