Номер 327, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 327, страница 243.

Учебник.

327. Какие три числа надо вставить между числами 48 и 243, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Решение 2.

Пусть искомые три числа вместе с данными числами 48 и 243 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$. В этой прогрессии первый член $b_1 = 48$. Три вставленных числа будут являться вторым, третьим и четвертым членами ($b_2, b_3, b_4$), а число 243 будет пятым членом, то есть $b_5 = 243$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Для $n=5$ формула примет вид: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$.

Подставим известные значения $b_1 = 48$ и $b_5 = 243$, чтобы найти знаменатель $q$:$243 = 48 \cdot q^4$

Выразим из этого уравнения $q^4$:$q^4 = \frac{243}{48}$Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:$q^4 = \frac{81}{16}$

Данное уравнение имеет два действительных корня для $q$:$q_1 = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}$$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{3}{2}$

Следовательно, существуют два возможных набора искомых чисел. Рассмотрим оба случая.

1. Если знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{2}$, то три искомых числа равны:$b_2 = b_1 \cdot q = 48 \cdot \frac{3}{2} = 72$$b_3 = b_2 \cdot q = 72 \cdot \frac{3}{2} = 108$$b_4 = b_3 \cdot q = 108 \cdot \frac{3}{2} = 162$Полученная прогрессия: 48, 72, 108, 162, 243.

2. Если знаменатель прогрессии $q = -\frac{3}{2}$, то три искомых числа равны:$b_2 = b_1 \cdot q = 48 \cdot (-\frac{3}{2}) = -72$$b_3 = b_2 \cdot q = (-72) \cdot (-\frac{3}{2}) = 108$$b_4 = b_3 \cdot q = 108 \cdot (-\frac{3}{2}) = -162$Полученная прогрессия: 48, -72, 108, -162, 243.

Ответ: 72, 108, 162 или -72, 108, -162.