Номер 331, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 331, страница 243.

Учебник.

331. Найдите пятый член бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен -12, а сумма равна -8.

Решение 2.

Обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как $b_1$, знаменатель как $q$, а сумму как $S$.

По условию задачи нам дано:

Первый член $b_1 = -12$.

Сумма прогрессии $S = -8$.

Требуется найти пятый член прогрессии, $b_5$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Эта формула справедлива при условии, что $|q| < 1$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, подставив известные значения $S$ и $b_1$ в формулу:

$-8 = \frac{-12}{1-q}$

Из этого уравнения выразим $(1-q)$:

$1-q = \frac{-12}{-8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $q$:

$q = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Проверим условие $|q| < 1$: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1. Условие выполняется, значит, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

Далее найдем пятый член прогрессии $b_5$ по формуле n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Для $n=5$ формула примет вид:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_1 = -12$ и $q = -\frac{1}{2}$:

$b_5 = -12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = -12 \cdot \frac{(-1)^4}{2^4} = -12 \cdot \frac{1}{16}$

$b_5 = -\frac{12}{16}$

Сократим полученную дробь на 4:

$b_5 = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$