Номер 335, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические функции - номер 335, страница 244.

Учебник.

335. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 - 4\cos\alpha$;

2) $6 + \sin^2 \alpha$;

3) $\frac{\sin \alpha(5 + \cos \alpha)}{\sin \alpha}$.

Решение 2.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $1 - 4\cos\alpha$ воспользуемся тем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$.

То есть, для любого угла $\alpha$ справедливо двойное неравенство: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-4$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-4) \ge -4\cos\alpha \ge 1 \cdot (-4)$

$4 \ge -4\cos\alpha \ge -4$

Запишем в привычном виде:

$-4 \le -4\cos\alpha \le 4$

Теперь прибавим ко всем частям неравенства 1:

$-4 + 1 \le 1 - 4\cos\alpha \le 4 + 1$

$-3 \le 1 - 4\cos\alpha \le 5$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-3$ (достигается при $\cos\alpha=1$), а наибольшее значение равно $5$ (достигается при $\cos\alpha=-1$).

Ответ: наименьшее значение: $-3$; наибольшее значение: $5$.

2) Рассмотрим выражение $6 + \sin^2\alpha$.

Известно, что значения функции синус лежат в отрезке $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

Возводя в квадрат, получаем значения для $\sin^2\alpha$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а максимальное значение модуля синуса равно 1, то:

$0 \le \sin^2\alpha \le 1$

Теперь прибавим ко всем частям этого неравенства 6:

$0 + 6 \le 6 + \sin^2\alpha \le 1 + 6$

$6 \le 6 + \sin^2\alpha \le 7$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно $6$ (достигается при $\sin^2\alpha=0$, т.е. $\sin\alpha=0$), а наибольшее значение равно $7$ (достигается при $\sin^2\alpha=1$, т.е. $\sin\alpha=\pm1$).

Ответ: наименьшее значение: $6$; наибольшее значение: $7$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\sin\alpha(5 + \cos\alpha)}{\sin\alpha}$.

Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin\alpha \ne 0$. Это означает, что $\alpha \ne \pi k$, где $k$ — любое целое число.

При условии $\sin\alpha \ne 0$ мы можем сократить дробь:

$\frac{\sin\alpha(5 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 5 + \cos\alpha$

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $5 + \cos\alpha$ с учетом ограничения $\sin\alpha \ne 0$.

Если $\sin\alpha = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha = 1$, то есть $\cos\alpha = 1$ или $\cos\alpha = -1$.

Поскольку по области допустимых значений $\sin\alpha \ne 0$, то значения $\cos\alpha = 1$ и $\cos\alpha = -1$ исключаются.

Таким образом, для $\cos\alpha$ справедливо строгое неравенство:

$-1 < \cos\alpha < 1$

Прибавим ко всем частям неравенства 5:

$-1 + 5 < 5 + \cos\alpha < 1 + 5$

$4 < 5 + \cos\alpha < 6$

Полученное строгое неравенство показывает, что значение выражения больше 4 и меньше 6, но никогда не достигает этих граничных значений. Следовательно, у данного выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.