Номер 335, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 335, страница 244.
№335 (с. 244)
Учебник. №335 (с. 244)
скриншот условия

335. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1) $1 - 4\cos\alpha$;
2) $6 + \sin^2 \alpha$;
3) $\frac{\sin \alpha(5 + \cos \alpha)}{\sin \alpha}$.
Решение 2. №335 (с. 244)
1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $1 - 4\cos\alpha$ воспользуемся тем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$.
То есть, для любого угла $\alpha$ справедливо двойное неравенство: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим все части неравенства на $-4$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-4) \ge -4\cos\alpha \ge 1 \cdot (-4)$
$4 \ge -4\cos\alpha \ge -4$
Запишем в привычном виде:
$-4 \le -4\cos\alpha \le 4$
Теперь прибавим ко всем частям неравенства 1:
$-4 + 1 \le 1 - 4\cos\alpha \le 4 + 1$
$-3 \le 1 - 4\cos\alpha \le 5$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-3$ (достигается при $\cos\alpha=1$), а наибольшее значение равно $5$ (достигается при $\cos\alpha=-1$).
Ответ: наименьшее значение: $-3$; наибольшее значение: $5$.
2) Рассмотрим выражение $6 + \sin^2\alpha$.
Известно, что значения функции синус лежат в отрезке $[-1, 1]$:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
Возводя в квадрат, получаем значения для $\sin^2\alpha$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а максимальное значение модуля синуса равно 1, то:
$0 \le \sin^2\alpha \le 1$
Теперь прибавим ко всем частям этого неравенства 6:
$0 + 6 \le 6 + \sin^2\alpha \le 1 + 6$
$6 \le 6 + \sin^2\alpha \le 7$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно $6$ (достигается при $\sin^2\alpha=0$, т.е. $\sin\alpha=0$), а наибольшее значение равно $7$ (достигается при $\sin^2\alpha=1$, т.е. $\sin\alpha=\pm1$).
Ответ: наименьшее значение: $6$; наибольшее значение: $7$.
3) Рассмотрим выражение $\frac{\sin\alpha(5 + \cos\alpha)}{\sin\alpha}$.
Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin\alpha \ne 0$. Это означает, что $\alpha \ne \pi k$, где $k$ — любое целое число.
При условии $\sin\alpha \ne 0$ мы можем сократить дробь:
$\frac{\sin\alpha(5 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 5 + \cos\alpha$
Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $5 + \cos\alpha$ с учетом ограничения $\sin\alpha \ne 0$.
Если $\sin\alpha = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha = 1$, то есть $\cos\alpha = 1$ или $\cos\alpha = -1$.
Поскольку по области допустимых значений $\sin\alpha \ne 0$, то значения $\cos\alpha = 1$ и $\cos\alpha = -1$ исключаются.
Таким образом, для $\cos\alpha$ справедливо строгое неравенство:
$-1 < \cos\alpha < 1$
Прибавим ко всем частям неравенства 5:
$-1 + 5 < 5 + \cos\alpha < 1 + 5$
$4 < 5 + \cos\alpha < 6$
Полученное строгое неравенство показывает, что значение выражения больше 4 и меньше 6, но никогда не достигает этих граничных значений. Следовательно, у данного выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 335 расположенного на странице 244 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №335 (с. 244), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.