Номер 340, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 340, страница 244.

340. Вычислите значения тригонометрических функций аргумента α, если:

1) $ \cos \alpha = -\frac{2}{7} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi; $

2) $ \operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi. $

1) Дано: $cos \alpha = -\frac{2}{7}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Условие $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($sin \alpha > 0$), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $sin \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$
$sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{49 - 4}{49} = \frac{45}{49}$
$sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{45}{49}} = \pm\frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{7} = \pm\frac{3\sqrt{5}}{7}$.
Поскольку $\alpha$ находится во второй четверти, $sin \alpha$ должен быть положительным, следовательно, $sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7}$.

2. Найдем $tg \alpha$ по определению: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tg \alpha = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{7}}{-\frac{2}{7}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

3. Найдем $ctg \alpha$ по определению: $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$ (или $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$).
$ctg \alpha = \frac{-\frac{2}{7}}{\frac{3\sqrt{5}}{7}} = -\frac{2}{3\sqrt{5}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$ctg \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = -\frac{2\sqrt{5}}{15}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7}$, $tg \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$, $ctg \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{15}$.

2) Дано: $tg \alpha = -\sqrt{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Условие $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ означает, что угол $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти. В четвертой четверти косинус положителен ($cos \alpha > 0$), а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ctg \alpha$, используя тождество $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.
$ctg \alpha = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем $cos \alpha$, используя тождество $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$.
$cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (-\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$.
$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку $\alpha$ находится в четвертой четверти, $cos \alpha$ должен быть положительным, следовательно, $cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Найдем $sin \alpha$, используя определение тангенса $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$, откуда $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha$.
$sin \alpha = (-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $sin \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, $cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.