Номер 341, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 341, страница 244.

341. Упростите выражение:

1) $ctg x - \frac{\sin x}{1 - \cos x}$;

2) $\frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} + \frac{1 - \cos \varphi}{\sin \varphi}$;

3) $\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$;

4) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha}$.

1) Для упрощения выражения $ \ctg x - \frac{\sin x}{1 - \cos x} $ представим котангенс как отношение косинуса к синусу и приведем дроби к общему знаменателю.
$ \ctg x - \frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{1 - \cos x} $
Общий знаменатель будет $ \sin x (1 - \cos x) $.
$ = \frac{\cos x (1 - \cos x) - \sin x \cdot \sin x}{\sin x (1 - \cos x)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ = \frac{\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x (1 - \cos x)} $
Сгруппируем $ - \cos^2 x - \sin^2 x = -(\cos^2 x + \sin^2 x) $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получим:
$ = \frac{\cos x - 1}{\sin x (1 - \cos x)} $
Вынесем минус за скобки в числителе: $ \cos x - 1 = -(1 - \cos x) $.
$ = \frac{-(1 - \cos x)}{\sin x (1 - \cos x)} $
Сократим дробь на $ (1 - \cos x) $ (при условии, что $ 1 - \cos x \ne 0 $):
$ = -\frac{1}{\sin x} $
Ответ: $ -\frac{1}{\sin x} $

2) Для упрощения выражения $ \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} + \frac{1 - \cos\varphi}{\sin\varphi} $ приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\varphi (1 + \cos\varphi) $.
$ \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} + \frac{1 - \cos\varphi}{\sin\varphi} = \frac{\sin\varphi \cdot \sin\varphi + (1 - \cos\varphi)(1 + \cos\varphi)}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} $
В числителе применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ = \frac{\sin^2\varphi + (1^2 - \cos^2\varphi)}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} = \frac{\sin^2\varphi + 1 - \cos^2\varphi}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 $ следует, что $ 1 - \cos^2\varphi = \sin^2\varphi $. Подставим это в числитель:
$ = \frac{\sin^2\varphi + \sin^2\varphi}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} = \frac{2\sin^2\varphi}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} $
Сократим дробь на $ \sin\varphi $ (при условии, что $ \sin\varphi \ne 0 $):
$ = \frac{2\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} $
Ответ: $ \frac{2\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} $

3) Для упрощения выражения $ \sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $ используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.
Заменим $ \cos^2 \alpha $ в исходном выражении:
$ \sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha + (1 - \sin^2 \alpha) $
Приведем подобные слагаемые:
$ = \sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 $
Полученное выражение является полным квадратом разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где $ a = \sin^2 \alpha $ и $ b = 1 $.
$ = (\sin^2 \alpha - 1)^2 $
Из основного тригонометрического тождества также следует, что $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $.
$ = (-\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha $
Ответ: $ \cos^4 \alpha $

4) Для упрощения выражения $ \frac{\tg\alpha}{\tg\alpha + \ctg\alpha} $ представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
$ \frac{\tg\alpha}{\tg\alpha + \ctg\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} $
Сначала упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha $:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:
$ \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1} $
Сократим $ \cos\alpha $:
$ = \sin\alpha \cdot \sin\alpha = \sin^2\alpha $
Ответ: $ \sin^2\alpha $