Номер 346, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 346, страница 245.

346. Упростите выражение:

1) $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-\sin (\pi+\alpha)+\operatorname{tg}(2 \pi-\alpha)+\operatorname{ctg}\left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right);$

2) $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) \cos (\pi-\alpha)+\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right) \sin (2 \pi-\alpha);$

3) $\frac{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right) \cos \left(180^{\circ}+\alpha\right) \operatorname{tg}\left(180^{\circ}-\alpha\right)}{\sin \left(270^{\circ}-\alpha\right) \operatorname{ctg}\left(270^{\circ}+\alpha\right) \cos \left(90^{\circ}+\alpha\right)};$

4) $\left(\operatorname{tg}\left(\frac{5 \pi}{2}+\alpha\right) \sin (2 \pi-\alpha)+\sin (3 \pi-\alpha)\right)^{2}-\frac{2 \cos ^{2}(\pi-\alpha)}{\operatorname{ctg}(\alpha-\pi)}.$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют сводить тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.
Исходное выражение: $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \sin(\pi + \alpha) + \text{tg}(2\pi - \alpha) + \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $.
Упростим каждый член по отдельности:
$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол во II четверти, косинус отрицательный, функция меняется на синус).
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол в III четверти, синус отрицательный, функция не меняется).
$ \text{tg}(2\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (угол в IV четверти, тангенс отрицательный, функция не меняется).
$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (угол в III четверти, котангенс положительный, функция меняется на тангенс).
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$ -\sin(\alpha) - (-\sin(\alpha)) + (-\text{tg}(\alpha)) + \text{tg}(\alpha) = -\sin(\alpha) + \sin(\alpha) - \text{tg}(\alpha) + \text{tg}(\alpha) = 0 $.
Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\cos(\pi - \alpha) + \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2})\sin(2\pi - \alpha) $, используя формулы приведения.
Упростим каждый сомножитель:
$ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $ (II четверть, синус положительный, функция меняется).
$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (II четверть, косинус отрицательный, функция не меняется).
$ \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (IV четверть, косинус положительный, функция меняется).
$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (IV четверть, синус отрицательный, функция не меняется).
Подставим упрощенные выражения:
$ (\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) + (\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) = -\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.
Вынесем минус за скобки: $ -(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, получаем:
$ -1 $.
Ответ: $-1$.

3) Упростим дробь $ \frac{\sin(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ + \alpha)\text{tg}(180^\circ - \alpha)}{\sin(270^\circ - \alpha)\text{ctg}(270^\circ + \alpha)\cos(90^\circ + \alpha)} $.
Упростим числитель, используя формулы приведения:
$ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $ (II четверть, sin > 0).
$ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (III четверть, cos < 0).
$ \text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (II четверть, tg < 0).
Числитель: $ \sin(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \sin(\alpha)\cos(\alpha)\text{tg}(\alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha)\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $.
Упростим знаменатель:
$ \sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (III четверть, sin < 0, функция меняется).
$ \text{ctg}(270^\circ + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (IV четверть, ctg < 0, функция меняется).
$ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
Знаменатель: $ (-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) = -\cos(\alpha)\text{tg}(\alpha)\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha) = -\sin^2(\alpha) $.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\sin^2(\alpha)}{-\sin^2(\alpha)} = -1 $ (при условии, что $ \sin(\alpha) \neq 0 $).
Ответ: $-1$.

4) Упростим выражение $ \left(\text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} + \alpha\right)\sin(2\pi - \alpha) + \sin(3\pi - \alpha)\right)^2 - \frac{2\cos^2(\pi - \alpha)}{\text{ctg}(\alpha - \pi)} $.
Рассмотрим первую часть выражения, возведенную в квадрат. Упростим каждый член внутри скобок:
$ \text{tg}(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Подставим в выражение в скобках:
$ (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) + \sin(\alpha) = \text{ctg}(\alpha)\sin(\alpha) + \sin(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\sin(\alpha) + \sin(\alpha) = \cos(\alpha) + \sin(\alpha) $.
Возведем в квадрат: $ (\cos(\alpha) + \sin(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Теперь упростим вторую часть выражения (дробь):
Числитель: $ 2\cos^2(\pi - \alpha) = 2(-\cos(\alpha))^2 = 2\cos^2(\alpha) $.
Знаменатель: $ \text{ctg}(\alpha - \pi) = \text{ctg}(-(\pi - \alpha)) = -\text{ctg}(\pi - \alpha) = -(-\text{ctg}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) $.
Дробь: $ \frac{2\cos^2(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{2\cos^2(\alpha)}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = 2\cos^2(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Объединим обе части:
$ (1 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) - (2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) = 1 $.
Ответ: $1$.