Номер 345, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 345, страница 245.

345. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$;

2) $4\sin\alpha - 3\cos\alpha$.

Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Идея этого метода заключается в преобразовании исходного выражения к виду $R \sin(\alpha \pm \varphi)$ или $R \cos(\alpha \mp \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Поскольку наибольшее значение синуса и косинуса равно 1, наибольшее значение всего выражения будет равно $R$.

1) Найдем наибольшее значение выражения $ \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha $.

Это выражение имеет вид $a \sin \alpha + b \cos \alpha$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = -1$.

Найдем значение $R$:

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 2. Продемонстрируем это с помощью преобразования:

$\sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha \right)$.

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения:

$2 \left( \sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} \right)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, получаем:

$2 \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$.

Наибольшее значение функции $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.

2) Найдем наибольшее значение выражения $ 4\sin\alpha - 3\cos\alpha $.

Здесь коэффициенты $a = 4$ и $b = -3$.

Найдем значение $R$:

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Наибольшее значение данного выражения равно 5. Преобразуем его для наглядности:

$4\sin\alpha - 3\cos\alpha = 5 \left( \frac{4}{5}\sin\alpha - \frac{3}{5}\cos\alpha \right)$.

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos\varphi = \frac{4}{5}$ и $\sin\varphi = \frac{3}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$.

Выражение принимает вид:

$5 (\sin\alpha\cos\varphi - \cos\alpha\sin\varphi)$.

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$5 \sin(\alpha - \varphi)$.

Наибольшее значение функции $\sin(\alpha - \varphi)$ равно 1. Таким образом, наибольшее значение всего выражения составляет $5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5.