Номер 347, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 347, страница 245.

347. Упростите выражение:

1) $\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{2}$;

2) $\frac{\sin 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\cos 6\alpha}{\cos 2\alpha}$;

3) $\frac{\cot \alpha + \tan \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha}$;

4) $\frac{1 - 2\sin^2 2\alpha}{2\tan\left(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha\right)\cos^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha\right)}$.

1) $\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{2}$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Сначала применим эту формулу к произведению $\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4}$. В этом случае $x = \frac{\alpha}{4}$.

$\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}) \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

Снова применим формулу $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, но на этот раз для $x = \frac{\alpha}{2}$:

$\frac{1}{2}(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})\right) = \frac{1}{4}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{4}\sin\alpha$.

2) $\frac{\sin 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\cos 6\alpha}{\cos 2\alpha}$

Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $\sin 2\alpha \cos 2\alpha$.

$\frac{\sin 6\alpha \cos 2\alpha + \cos 6\alpha \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}$.

Числитель дроби представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. В нашем случае $A=6\alpha$ и $B=2\alpha$.

$\sin 6\alpha \cos 2\alpha + \cos 6\alpha \sin 2\alpha = \sin(6\alpha + 2\alpha) = \sin 8\alpha$.

Знаменатель дроби можно упростить с помощью формулы синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Для $x=2\alpha$ получаем $\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin 4\alpha$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{\sin 8\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = 2\frac{\sin 8\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Используем формулу синуса двойного угла для числителя: $\sin 8\alpha = \sin(2 \cdot 4\alpha) = 2\sin 4\alpha \cos 4\alpha$.

$2\frac{2\sin 4\alpha \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Сокращая $\sin 4\alpha$ (при условии, что $\sin 4\alpha \neq 0$), получаем:

$2 \cdot 2 \cos 4\alpha = 4\cos 4\alpha$.

Ответ: $4\cos 4\alpha$.

3) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha}$

Заменим $\operatorname{ctg} \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$ их определениями через синус и косинус: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}$.

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \alpha$:

$\frac{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}$.

Сократим общий знаменатель $\sin \alpha \cos \alpha$:

$\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$.

В числителе мы имеем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. В знаменателе — формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Подставив эти тождества, получим:

$\frac{1}{\cos 2\alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos 2\alpha}$.

4) $\frac{1 - 2\sin^2 2\alpha}{2\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha)\cos^2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha)}$

Сначала упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$. При $x=2\alpha$ получаем:

$1 - 2\sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.

Теперь упростим знаменатель. Преобразуем $\cos^2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha)$ по формуле понижения степени $\cos^2 y = \frac{1+\cos(2y)}{2}$:

$\cos^2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha) = \frac{1+\cos(2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha))}{2} = \frac{1+\cos(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha)}{2}$.

По формуле приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \beta) = \sin \beta$, это выражение равно $\frac{1+\sin(4\alpha)}{2}$.

Знаменатель исходной дроби становится:

$2\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha) \cdot \frac{1+\sin(4\alpha)}{2} = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha)(1+\sin(4\alpha))$.

Таким образом, всё выражение принимает вид:

$\frac{\cos(4\alpha)}{\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha)(1+\sin(4\alpha))}$.

Для дальнейшего упрощения введем замену $t = \operatorname{tg}(2\alpha)$ и воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки:

$\cos(4\alpha) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$1+\sin(4\alpha) = 1 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{1+t^2+2t}{1+t^2} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2}$

$\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha) = \frac{\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} - \operatorname{tg}2\alpha}{1+\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}\operatorname{tg}2\alpha} = \frac{-1-t}{1-t} = \frac{1+t}{t-1}$.

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{1+t}{t-1} \cdot \frac{(1+t)^2}{1+t^2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2} \cdot \frac{(t-1)(1+t^2)}{(1+t)^3} = \frac{(1-t)(1+t)(t-1)}{(1+t)^3}$.

Учитывая, что $(t-1) = -(1-t)$, получаем:

$\frac{-(1-t)^2(1+t)}{(1+t)^3} = -\frac{(1-t)^2}{(1+t)^2} = -\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2$.

Теперь вернемся к исходной переменной. Мы знаем, что $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg} x}$.

При $x=2\alpha$ и $t=\operatorname{tg}(2\alpha)$ имеем $\frac{1-t}{1+t} = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)$.

Следовательно, итоговое выражение равно:

$-\left(\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)\right)^2 = -\operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)$.

Ответ: $-\operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)$.