Страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

342. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\cos^2 \alpha + 2\sin^2 \alpha$;

2) $3\sin^2 \alpha - 2\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$.

1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Преобразуем выражение одним из двух способов.

Способ 1:

Представим $3\cos^2\alpha$ как $2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha$ и сгруппируем слагаемые:

$3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha = (2\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha) + \cos^2\alpha = 2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cos^2\alpha$

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, получаем:

$2(1) + \cos^2\alpha = 2 + \cos^2\alpha$

Способ 2:

Выразим $\sin^2\alpha$ через $\cos^2\alpha$ из основного тождества: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

$3\cos^2\alpha + 2(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos^2\alpha + 2 - 2\cos^2\alpha = 2 + \cos^2\alpha$

Теперь найдем область значений выражения $2 + \cos^2\alpha$.

Значение $\cos\alpha$ находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Следовательно, значение $\cos^2\alpha$ находится в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем значении $\cos^2\alpha = 0$:

Наименьшее значение = $2 + 0 = 2$.

Наибольшее значение выражения достигается при наибольшем значении $\cos^2\alpha = 1$:

Наибольшее значение = $2 + 1 = 3$.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшее значение равно 3.

2)

Рассмотрим выражение $3\sin^2\alpha - 2\tg\alpha \ctg\alpha$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для угла $\alpha$. Выражение содержит $\tg\alpha$ и $\ctg\alpha$.

Функция $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ определена при $\cos\alpha \neq 0$.

Функция $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ определена при $\sin\alpha \neq 0$.

В области допустимых значений, где $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$, справедливо тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.

Подставив это в исходное выражение, получим:

$3\sin^2\alpha - 2\tg\alpha \ctg\alpha = 3\sin^2\alpha - 2(1) = 3\sin^2\alpha - 2$.

Теперь найдем, какие значения может принимать $\sin^2\alpha$ с учетом ОДЗ.

В общем случае $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Однако из ОДЗ мы имеем ограничения:

• Так как $\sin\alpha \neq 0$, то $\sin^2\alpha \neq 0$.
• Так как $\cos\alpha \neq 0$, то $\cos^2\alpha \neq 0$. Из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\sin^2\alpha \neq 1$.

Таким образом, для данного выражения значения $\sin^2\alpha$ находятся в открытом интервале $(0, 1)$, то есть $0 < \sin^2\alpha < 1$.

Рассмотрим значения выражения $3\sin^2\alpha - 2$. Так как $0 < \sin^2\alpha < 1$, то:

$3 \cdot 0 < 3\sin^2\alpha < 3 \cdot 1$

$0 < 3\sin^2\alpha < 3$

$0 - 2 < 3\sin^2\alpha - 2 < 3 - 2$

$-2 < 3\sin^2\alpha - 2 < 1$

Значения выражения лежат в интервале $(-2, 1)$. Поскольку концы интервала не включаются, выражение может принимать значения сколь угодно близкие к -2 и 1, но никогда их не достигает. Следовательно, у выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.

343. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2}} - \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}$, если $\pi < \alpha < 2\pi;$

2) $\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}}$, если $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

1)

Дано выражение $\sqrt{1 - \cos^2\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{1 - \sin^2\frac{\alpha}{2}}$ и условие $\pi < \alpha < 2\pi$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.
Отсюда $1 - \cos^2\frac{\alpha}{2} = \sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Выражение принимает вид:
$|\sin\frac{\alpha}{2}| - |\cos\frac{\alpha}{2}|$

Теперь определим знаки $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$, используя заданный интервал для $\alpha$: $\pi < \alpha < 2\pi$.

Разделив неравенство на 2, получим интервал для $\frac{\alpha}{2}$:
$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi$

Этот интервал соответствует II четверти координатной плоскости. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Следовательно, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\cos\frac{\alpha}{2} < 0$.

Раскроем модули с учетом знаков:
$|\sin\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2}$
$|\cos\frac{\alpha}{2}| = -\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставим раскрытые модули в выражение:
$\sin\frac{\alpha}{2} - (-\cos\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$

2)

Дано выражение $\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}}$ и условие $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности. Для этого умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное знаменателю выражение.

Первое слагаемое:
$\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)^2}{1 - \sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}} = \frac{|1 + \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$

Второе слагаемое:
$\sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}{(1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)^2}{1 - \sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}} = \frac{|1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$

Таким образом, исходное выражение равно:
$\frac{|1 + \sin\alpha|}{|\cos\alpha|} + \frac{|1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|} = \frac{|1 + \sin\alpha| + |1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$

Определим знаки выражений под модулем для интервала $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Этот интервал соответствует III четверти.

В III четверти:
$-1 < \sin\alpha < 0$
$-1 < \cos\alpha < 0$

Оценим знаки выражений в модулях:
$1 + \sin\alpha$: поскольку $-1 < \sin\alpha < 0$, то $0 < 1 + \sin\alpha < 1$. Значит, $1 + \sin\alpha > 0$.
$1 - \sin\alpha$: поскольку $-1 < \sin\alpha < 0$, то $0 < -\sin\alpha < 1$, и $1 < 1 - \sin\alpha < 2$. Значит, $1 - \sin\alpha > 0$.
$\cos\alpha < 0$.

Раскроем модули:
$|1 + \sin\alpha| = 1 + \sin\alpha$
$|1 - \sin\alpha| = 1 - \sin\alpha$
$|\cos\alpha| = -\cos\alpha$

Подставим в преобразованное выражение:
$\frac{(1 + \sin\alpha) + (1 - \sin\alpha)}{-\cos\alpha} = \frac{1 + \sin\alpha + 1 - \sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{2}{-\cos\alpha} = -\frac{2}{\cos\alpha}$

Ответ: $-\frac{2}{\cos\alpha}$

344. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin (45^\circ + \alpha) + \cos (45^\circ + \alpha)}{\sin (45^\circ + \alpha) - \cos (45^\circ + \alpha)} = \text{ctg } \alpha;$

2) $\frac{\cos (\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha - \beta) + 2\sin \beta \cos \alpha} = \text{ctg } (\alpha + \beta);$

3) $\sin 12\alpha \text{ ctg } 6\alpha - \cos 12\alpha = 1;$

4) $1 - (\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta) \text{ ctg } (\alpha + \beta) = \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta.$

1) Докажем тождество $ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)} = \text{ctg}\,\alpha $.

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(90^\circ - x) $.

Применим ее к $ \cos(45^\circ + \alpha) $: $ \cos(45^\circ + \alpha) = \sin(90^\circ - (45^\circ + \alpha)) = \sin(90^\circ - 45^\circ - \alpha) = \sin(45^\circ - \alpha) $.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \sin(45^\circ - \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha)} $

Теперь воспользуемся формулами преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $

$ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $

В нашем случае $ A = 45^\circ + \alpha $ и $ B = 45^\circ - \alpha $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(45^\circ + \alpha) + (45^\circ - \alpha)}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(45^\circ + \alpha) - (45^\circ - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Подставим эти значения в нашу дробь:

$ \frac{2 \sin(45^\circ) \cos(\alpha)}{2 \cos(45^\circ) \sin(\alpha)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Так как $ \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \text{tg}(45^\circ) = 1 $ и $ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \text{ctg}(\alpha) $, получаем:

$ 1 \cdot \text{ctg}(\alpha) = \text{ctg}(\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)} = \text{ctg}\,\alpha $.

2) Докажем тождество $ \frac{\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha} = \text{ctg}(\alpha + \beta) $.

Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулы косинуса разности и синуса разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Преобразуем числитель:

$ \cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + 2\cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} = \text{ctg}(\alpha + \beta) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha} = \text{ctg}(\alpha + \beta) $.

3) Докажем тождество $ \sin 12\alpha \cdot \text{ctg}\,6\alpha - \cos 12\alpha = 1 $.

Преобразуем левую часть. Запишем котангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}\,6\alpha = \frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} $.

$ \sin 12\alpha \cdot \frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} - \cos 12\alpha $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $. Для $ \sin 12\alpha $ это будет $ \sin(2 \cdot 6\alpha) = 2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha $.

$ (2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha) \cdot \frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} - \cos 12\alpha $

Сократим $ \sin 6\alpha $ (при условии, что $ \sin 6\alpha \neq 0 $):

$ 2 \cos 6\alpha \cdot \cos 6\alpha - \cos 12\alpha = 2\cos^2 6\alpha - \cos 12\alpha $

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $. Для $ \cos 12\alpha $ это будет $ \cos(2 \cdot 6\alpha) = 2\cos^2 6\alpha - 1 $.

$ 2\cos^2 6\alpha - (2\cos^2 6\alpha - 1) = 2\cos^2 6\alpha - 2\cos^2 6\alpha + 1 = 1 $

Левая часть равна 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: $ \sin 12\alpha \cdot \text{ctg}\,6\alpha - \cos 12\alpha = 1 $.

4) Докажем тождество $ 1 - (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta)\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta $.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой котангенса суммы, выраженной через тангенсы:

$ \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha + \beta)} = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta} $

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$ 1 - (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta} $

Сократим множитель $ (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta) $ (при условии, что $ \text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta \neq 0 $):

$ 1 - (1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta) $

Раскроем скобки:

$ 1 - 1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta = \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ 1 - (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta)\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta $.

345. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$;

2) $4\sin\alpha - 3\cos\alpha$.

Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Идея этого метода заключается в преобразовании исходного выражения к виду $R \sin(\alpha \pm \varphi)$ или $R \cos(\alpha \mp \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Поскольку наибольшее значение синуса и косинуса равно 1, наибольшее значение всего выражения будет равно $R$.

1) Найдем наибольшее значение выражения $ \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha $.

Это выражение имеет вид $a \sin \alpha + b \cos \alpha$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = -1$.

Найдем значение $R$:

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 2. Продемонстрируем это с помощью преобразования:

$\sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha \right)$.

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения:

$2 \left( \sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} \right)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, получаем:

$2 \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$.

Наибольшее значение функции $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.

2) Найдем наибольшее значение выражения $ 4\sin\alpha - 3\cos\alpha $.

Здесь коэффициенты $a = 4$ и $b = -3$.

Найдем значение $R$:

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Наибольшее значение данного выражения равно 5. Преобразуем его для наглядности:

$4\sin\alpha - 3\cos\alpha = 5 \left( \frac{4}{5}\sin\alpha - \frac{3}{5}\cos\alpha \right)$.

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos\varphi = \frac{4}{5}$ и $\sin\varphi = \frac{3}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$.

Выражение принимает вид:

$5 (\sin\alpha\cos\varphi - \cos\alpha\sin\varphi)$.

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$5 \sin(\alpha - \varphi)$.

Наибольшее значение функции $\sin(\alpha - \varphi)$ равно 1. Таким образом, наибольшее значение всего выражения составляет $5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5.

346. Упростите выражение:

1) $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-\sin (\pi+\alpha)+\operatorname{tg}(2 \pi-\alpha)+\operatorname{ctg}\left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right);$

2) $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) \cos (\pi-\alpha)+\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right) \sin (2 \pi-\alpha);$

3) $\frac{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right) \cos \left(180^{\circ}+\alpha\right) \operatorname{tg}\left(180^{\circ}-\alpha\right)}{\sin \left(270^{\circ}-\alpha\right) \operatorname{ctg}\left(270^{\circ}+\alpha\right) \cos \left(90^{\circ}+\alpha\right)};$

4) $\left(\operatorname{tg}\left(\frac{5 \pi}{2}+\alpha\right) \sin (2 \pi-\alpha)+\sin (3 \pi-\alpha)\right)^{2}-\frac{2 \cos ^{2}(\pi-\alpha)}{\operatorname{ctg}(\alpha-\pi)}.$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют сводить тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.
Исходное выражение: $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \sin(\pi + \alpha) + \text{tg}(2\pi - \alpha) + \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $.
Упростим каждый член по отдельности:
$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол во II четверти, косинус отрицательный, функция меняется на синус).
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол в III четверти, синус отрицательный, функция не меняется).
$ \text{tg}(2\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (угол в IV четверти, тангенс отрицательный, функция не меняется).
$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (угол в III четверти, котангенс положительный, функция меняется на тангенс).
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$ -\sin(\alpha) - (-\sin(\alpha)) + (-\text{tg}(\alpha)) + \text{tg}(\alpha) = -\sin(\alpha) + \sin(\alpha) - \text{tg}(\alpha) + \text{tg}(\alpha) = 0 $.
Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\cos(\pi - \alpha) + \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2})\sin(2\pi - \alpha) $, используя формулы приведения.
Упростим каждый сомножитель:
$ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $ (II четверть, синус положительный, функция меняется).
$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (II четверть, косинус отрицательный, функция не меняется).
$ \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (IV четверть, косинус положительный, функция меняется).
$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (IV четверть, синус отрицательный, функция не меняется).
Подставим упрощенные выражения:
$ (\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) + (\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) = -\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.
Вынесем минус за скобки: $ -(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, получаем:
$ -1 $.
Ответ: $-1$.

3) Упростим дробь $ \frac{\sin(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ + \alpha)\text{tg}(180^\circ - \alpha)}{\sin(270^\circ - \alpha)\text{ctg}(270^\circ + \alpha)\cos(90^\circ + \alpha)} $.
Упростим числитель, используя формулы приведения:
$ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $ (II четверть, sin > 0).
$ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (III четверть, cos < 0).
$ \text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (II четверть, tg < 0).
Числитель: $ \sin(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \sin(\alpha)\cos(\alpha)\text{tg}(\alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha)\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $.
Упростим знаменатель:
$ \sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (III четверть, sin < 0, функция меняется).
$ \text{ctg}(270^\circ + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (IV четверть, ctg < 0, функция меняется).
$ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
Знаменатель: $ (-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) = -\cos(\alpha)\text{tg}(\alpha)\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha) = -\sin^2(\alpha) $.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\sin^2(\alpha)}{-\sin^2(\alpha)} = -1 $ (при условии, что $ \sin(\alpha) \neq 0 $).
Ответ: $-1$.

4) Упростим выражение $ \left(\text{tg}\left(\frac{5\pi}{2} + \alpha\right)\sin(2\pi - \alpha) + \sin(3\pi - \alpha)\right)^2 - \frac{2\cos^2(\pi - \alpha)}{\text{ctg}(\alpha - \pi)} $.
Рассмотрим первую часть выражения, возведенную в квадрат. Упростим каждый член внутри скобок:
$ \text{tg}(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Подставим в выражение в скобках:
$ (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) + \sin(\alpha) = \text{ctg}(\alpha)\sin(\alpha) + \sin(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\sin(\alpha) + \sin(\alpha) = \cos(\alpha) + \sin(\alpha) $.
Возведем в квадрат: $ (\cos(\alpha) + \sin(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Теперь упростим вторую часть выражения (дробь):
Числитель: $ 2\cos^2(\pi - \alpha) = 2(-\cos(\alpha))^2 = 2\cos^2(\alpha) $.
Знаменатель: $ \text{ctg}(\alpha - \pi) = \text{ctg}(-(\pi - \alpha)) = -\text{ctg}(\pi - \alpha) = -(-\text{ctg}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) $.
Дробь: $ \frac{2\cos^2(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{2\cos^2(\alpha)}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = 2\cos^2(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Объединим обе части:
$ (1 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) - (2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) = 1 $.
Ответ: $1$.

347. Упростите выражение:

1) $\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{2}$;

2) $\frac{\sin 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\cos 6\alpha}{\cos 2\alpha}$;

3) $\frac{\cot \alpha + \tan \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha}$;

4) $\frac{1 - 2\sin^2 2\alpha}{2\tan\left(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha\right)\cos^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha\right)}$.

1) $\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{2}$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Сначала применим эту формулу к произведению $\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4}$. В этом случае $x = \frac{\alpha}{4}$.

$\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}) \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

Снова применим формулу $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, но на этот раз для $x = \frac{\alpha}{2}$:

$\frac{1}{2}(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})\right) = \frac{1}{4}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{4}\sin\alpha$.

2) $\frac{\sin 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\cos 6\alpha}{\cos 2\alpha}$

Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $\sin 2\alpha \cos 2\alpha$.

$\frac{\sin 6\alpha \cos 2\alpha + \cos 6\alpha \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}$.

Числитель дроби представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. В нашем случае $A=6\alpha$ и $B=2\alpha$.

$\sin 6\alpha \cos 2\alpha + \cos 6\alpha \sin 2\alpha = \sin(6\alpha + 2\alpha) = \sin 8\alpha$.

Знаменатель дроби можно упростить с помощью формулы синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Для $x=2\alpha$ получаем $\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin 4\alpha$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{\sin 8\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = 2\frac{\sin 8\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Используем формулу синуса двойного угла для числителя: $\sin 8\alpha = \sin(2 \cdot 4\alpha) = 2\sin 4\alpha \cos 4\alpha$.

$2\frac{2\sin 4\alpha \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Сокращая $\sin 4\alpha$ (при условии, что $\sin 4\alpha \neq 0$), получаем:

$2 \cdot 2 \cos 4\alpha = 4\cos 4\alpha$.

Ответ: $4\cos 4\alpha$.

3) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha}$

Заменим $\operatorname{ctg} \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$ их определениями через синус и косинус: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}$.

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \alpha$:

$\frac{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}$.

Сократим общий знаменатель $\sin \alpha \cos \alpha$:

$\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$.

В числителе мы имеем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. В знаменателе — формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Подставив эти тождества, получим:

$\frac{1}{\cos 2\alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos 2\alpha}$.

4) $\frac{1 - 2\sin^2 2\alpha}{2\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha)\cos^2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha)}$

Сначала упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$. При $x=2\alpha$ получаем:

$1 - 2\sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.

Теперь упростим знаменатель. Преобразуем $\cos^2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha)$ по формуле понижения степени $\cos^2 y = \frac{1+\cos(2y)}{2}$:

$\cos^2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha) = \frac{1+\cos(2(\frac{3\pi}{4} + 2\alpha))}{2} = \frac{1+\cos(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha)}{2}$.

По формуле приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \beta) = \sin \beta$, это выражение равно $\frac{1+\sin(4\alpha)}{2}$.

Знаменатель исходной дроби становится:

$2\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha) \cdot \frac{1+\sin(4\alpha)}{2} = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha)(1+\sin(4\alpha))$.

Таким образом, всё выражение принимает вид:

$\frac{\cos(4\alpha)}{\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha)(1+\sin(4\alpha))}$.

Для дальнейшего упрощения введем замену $t = \operatorname{tg}(2\alpha)$ и воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки:

$\cos(4\alpha) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$1+\sin(4\alpha) = 1 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{1+t^2+2t}{1+t^2} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2}$

$\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2\alpha) = \frac{\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} - \operatorname{tg}2\alpha}{1+\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}\operatorname{tg}2\alpha} = \frac{-1-t}{1-t} = \frac{1+t}{t-1}$.

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{1+t}{t-1} \cdot \frac{(1+t)^2}{1+t^2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2} \cdot \frac{(t-1)(1+t^2)}{(1+t)^3} = \frac{(1-t)(1+t)(t-1)}{(1+t)^3}$.

Учитывая, что $(t-1) = -(1-t)$, получаем:

$\frac{-(1-t)^2(1+t)}{(1+t)^3} = -\frac{(1-t)^2}{(1+t)^2} = -\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2$.

Теперь вернемся к исходной переменной. Мы знаем, что $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg} x}$.

При $x=2\alpha$ и $t=\operatorname{tg}(2\alpha)$ имеем $\frac{1-t}{1+t} = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)$.

Следовательно, итоговое выражение равно:

$-\left(\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)\right)^2 = -\operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)$.

Ответ: $-\operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{4} - 2\alpha)$.

348. Дано: $\text{tg} \frac{x}{4} = 0,4$. Найдите $\text{tg} \left(45^{\circ} + \frac{x}{2}\right)$.

Для решения задачи нам нужно найти значение выражения $\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right)$. Мы можем использовать формулу тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = \frac{x}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) = \frac{\text{tg}45^\circ + \text{tg}\frac{x}{2}}{1 - \text{tg}45^\circ \cdot \text{tg}\frac{x}{2}}$

Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, формула упрощается до:

$\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \text{tg}\frac{x}{2}}{1 - \text{tg}\frac{x}{2}}$

Теперь нам нужно найти значение $\text{tg}\frac{x}{2}$, используя данное нам значение $\text{tg}\frac{x}{4} = 0.4$. Для этого воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$

Пусть $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$. Подставим известное значение $\text{tg}\frac{x}{4} = 0.4$ в формулу:

$\text{tg}\frac{x}{2} = \frac{2\text{tg}\frac{x}{4}}{1 - \text{tg}^2\frac{x}{4}} = \frac{2 \cdot 0.4}{1 - (0.4)^2} = \frac{0.8}{1 - 0.16} = \frac{0.8}{0.84}$

Упростим полученную дробь:

$\frac{0.8}{0.84} = \frac{80}{84} = \frac{20 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{20}{21}$

Теперь, когда мы нашли $\text{tg}\frac{x}{2} = \frac{20}{21}$, мы можем подставить это значение в нашу первую формулу:

$\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \text{tg}\frac{x}{2}}{1 - \text{tg}\frac{x}{2}} = \frac{1 + \frac{20}{21}}{1 - \frac{20}{21}}$

Выполним вычисления:

$\frac{1 + \frac{20}{21}}{1 - \frac{20}{21}} = \frac{\frac{21}{21} + \frac{20}{21}}{\frac{21}{21} - \frac{20}{21}} = \frac{\frac{41}{21}}{\frac{1}{21}} = \frac{41}{21} \cdot \frac{21}{1} = 41$

Ответ: 41

349. Докажите тождество:

1) $\text{tg } 2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = 0;$

2) $\frac{1 + \cos \alpha + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha + \sin \alpha} = \text{ctg } \frac{\alpha}{2}.$

1) Докажем тождество $ \text{tg}\,2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = 0 $.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $ \cos 2\alpha \ne 0 $, так как тангенс не определен, когда его косинус равен нулю.

Используем следующие тригонометрические формулы:
1. Определение тангенса: $ \text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
2. Формула косинуса двойного угла в виде $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $, из которой следует $ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $. Применив её для $ x = 2\alpha $, получаем $ 1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha $.
3. Формула синуса двойного угла: $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Применив её для $ x = 2\alpha $, получаем $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $.

Подставим эти формулы в левую часть исходного выражения:
$ \text{tg}\,2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot (2\cos^2 2\alpha) - \sin 4\alpha $

Сократим $ \cos 2\alpha $ в первом слагаемом (это возможно в рамках ОДЗ):
$ \sin 2\alpha \cdot 2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha $

Теперь применим формулу синуса двойного угла к выражению $ 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:
$ 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $

Подставим полученный результат обратно:
$ \sin 4\alpha - \sin 4\alpha = 0 $

Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \text{tg}\,2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = 0 $ доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{1 + \cos\alpha + \sin\alpha}{1 - \cos\alpha + \sin\alpha} = \text{ctg}\,\frac{\alpha}{2} $.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений определяется условиями: знаменатель дроби не равен нулю ($ 1 - \cos\alpha + \sin\alpha \ne 0 $) и $ \sin(\alpha/2) \ne 0 $ (для существования котангенса).

Используем формулы двойного угла для $ \alpha $, выражая тригонометрические функции через аргумент $ \frac{\alpha}{2} $:
1. $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $
2. $ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} $ (из $ \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 $)
3. $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $ (из $ \cos\alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $)

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби в левой части:
$ \frac{(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha}{(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha} = \frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
В числителе выносим $ 2\cos\frac{\alpha}{2} $: $ 2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}) $
В знаменателе выносим $ 2\sin\frac{\alpha}{2} $: $ 2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) $

Получаем выражение:
$ \frac{2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})}{2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})} $

Сократим общий множитель $ 2(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}) $. Это возможно, если $ \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \ne 0 $, что исключает из ОДЗ значения $ \alpha $, при которых знаменатель исходной дроби обращается в ноль.
После сокращения остается:
$ \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} $

По определению котангенса, $ \frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg}\,x $. Следовательно:
$ \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \text{ctg}\,\frac{\alpha}{2} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \frac{1 + \cos\alpha + \sin\alpha}{1 - \cos\alpha + \sin\alpha} = \text{ctg}\,\frac{\alpha}{2} $ доказано.