Страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

390. Сравните числа $m$ и $n$, если:

1) $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$;

2) $\log_{1,5} m < \log_{1,5} n$.

1) Чтобы сравнить числа $m$ и $n$, исходя из неравенства $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$, необходимо рассмотреть свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

В данном случае основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$ (поскольку $0 < \frac{1}{2} < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является монотонно убывающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Соответственно, если дано неравенство для логарифмов $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$, то для их аргументов $m$ и $n$ будет выполняться неравенство с противоположным знаком. Также следует учесть, что по определению логарифма, его аргументы должны быть положительными, то есть $m > 0$ и $n > 0$.

Таким образом, из $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) Рассмотрим неравенство $\log_{1.5} m < \log_{1.5} n$.

В этом случае основание логарифма $a = 1.5$. Так как основание $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{1.5} x$ является монотонно возрастающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Следовательно, если дано неравенство для логарифмов $\log_{1.5} m < \log_{1.5} n$, то для их аргументов $m$ и $n$ будет выполняться неравенство с тем же знаком. Аргументы $m$ и $n$ также должны быть положительными ($m > 0$, $n > 0$).

Таким образом, из $\log_{1.5} m < \log_{1.5} n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

391. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $log_a 7 < log_a 6$;

2) $log_a 5 > 0$.

1)
Дано неравенство $\log_a 7 < \log_a 6$.
Чтобы сравнить основание логарифма $a$ с единицей, необходимо вспомнить свойства логарифмической функции $y = \log_a x$. Основание логарифма по определению должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.
Существует два случая для поведения логарифмической функции:
- Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$.
- Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$.
В нашем случае мы сравниваем $\log_a 7$ и $\log_a 6$. Аргументы логарифмов равны $7$ и $6$, при этом $7 > 6$.
По условию задачи $\log_a 7 < \log_a 6$.
Мы видим, что большему значению аргумента ($7$) соответствует меньшее значение логарифма. Это характерно для убывающей логарифмической функции.
Функция является убывающей, когда ее основание находится в интервале $0 < a < 1$.
Следовательно, основание $a$ меньше единицы.
Ответ: $a < 1$.

2)
Дано неравенство $\log_a 5 > 0$.
Мы знаем, что для любого допустимого основания $a$ ($a > 0, a \neq 1$) верно, что $\log_a 1 = 0$.
Таким образом, мы можем переписать исходное неравенство, заменив $0$ на $\log_a 1$:
$\log_a 5 > \log_a 1$.
Теперь сравним это неравенство с неравенством для аргументов. Аргументы равны $5$ и $1$, и очевидно, что $5 > 1$.
Мы видим, что знак неравенства для логарифмов ($>$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($>$). Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Такое свойство характерно для возрастающей логарифмической функции.
Логарифмическая функция является возрастающей, когда ее основание $a > 1$.
Следовательно, основание $a$ больше единицы.
Ответ: $a > 1$.

392. Сравните с нулём число:

1) $\log_2 \frac{1}{5}$;

2) $\log_3 4$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 0,6$;

4) $\log_{\frac{1}{6}} 10$.

Чтобы сравнить значение логарифма с нулем, воспользуемся свойством, что $\log_a{1} = 0$ для любого допустимого основания $a$ (где $a > 0, a \neq 1$). Таким образом, задача сводится к сравнению аргумента логарифма с единицей, с учетом его основания.

Существует два основных случая в зависимости от основания логарифма $a$:

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является возрастающей. Это значит, что если аргумент $b > 1$, то $\log_a{b} > \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} > 0$. Если же $0 < b < 1$, то $\log_a{b} < \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} < 0$.
• Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является убывающей. Это значит, что если аргумент $b > 1$, то $\log_a{b} < \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} < 0$. Если же $0 < b < 1$, то $\log_a{b} > \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} > 0$.

Применим эти правила к каждому из выражений.

Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей.

Аргумент логарифма $b = \frac{1}{5}$. Так как $0 < \frac{1}{5} < 1$.

Поскольку основание больше 1, а аргумент меньше 1, значение логарифма будет меньше нуля. Формально: так как функция возрастающая и $\frac{1}{5} < 1$, то $\log_2{\frac{1}{5}} < \log_2{1}$. А поскольку $\log_2{1} = 0$, то $\log_2{\frac{1}{5}} < 0$.

Ответ: $\log_2{\frac{1}{5}} < 0$.

Основание логарифма $a = 3$. Так как $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей.

Аргумент логарифма $b = 4$. Так как $4 > 1$.

Поскольку основание больше 1 и аргумент больше 1, значение логарифма будет больше нуля. Формально: так как функция возрастающая и $4 > 1$, то $\log_3{4} > \log_3{1}$. А поскольку $\log_3{1} = 0$, то $\log_3{4} > 0$.

Ответ: $\log_3{4} > 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей.

Аргумент логарифма $b = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$.

Поскольку основание меньше 1 и аргумент меньше 1, значение логарифма будет больше нуля. Формально: так как функция убывающая и $0,6 < 1$, то $\log_{\frac{1}{3}}{0,6} > \log_{\frac{1}{3}}{1}$. А поскольку $\log_{\frac{1}{3}}{1} = 0$, то $\log_{\frac{1}{3}}{0,6} > 0$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}}{0,6} > 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < \frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей.

Аргумент логарифма $b = 10$. Так как $10 > 1$.

Поскольку основание меньше 1, а аргумент больше 1, значение логарифма будет меньше нуля. Формально: так как функция убывающая и $10 > 1$, то $\log_{\frac{1}{6}}{10} < \log_{\frac{1}{6}}{1}$. А поскольку $\log_{\frac{1}{6}}{1} = 0$, то $\log_{\frac{1}{6}}{10} < 0$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{6}}{10} < 0$.

393. Между какими двумя последовательными целыми числами расположено на координатной прямой число:

1) $\lg 50$;

2) $\log_3 8$;

3) $\log_1 30$;

4) $\log_{0,1} 4,37$?

1) lg 50
Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\lg 50$, нам нужно найти такое целое число $n$, что $n < \lg 50 < n+1$. Запись $\lg 50$ означает логарифм по основанию 10, то есть $\log_{10} 50$. Неравенство можно переписать в виде $10^n < 50 < 10^{n+1}$. Рассмотрим степени числа 10: $10^1 = 10$ $10^2 = 100$ Поскольку $10 < 50 < 100$, мы имеем $10^1 < 50 < 10^2$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, из этого неравенства следует, что $\log_{10}(10^1) < \log_{10}(50) < \log_{10}(10^2)$. Это означает, что $1 < \lg 50 < 2$. Таким образом, число $\lg 50$ расположено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: между 1 и 2.

2) log₃ 8
Нам нужно определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_3 8$. Ищем такое целое число $n$, что $n < \log_3 8 < n+1$. Это эквивалентно неравенству $3^n < 8 < 3^{n+1}$. Рассмотрим степени числа 3: $3^1 = 3$ $3^2 = 9$ Поскольку $3 < 8 < 9$, мы имеем $3^1 < 8 < 3^2$. Так как логарифмическая функция с основанием 3 является возрастающей, из этого неравенства следует, что $\log_3(3^1) < \log_3(8) < \log_3(3^2)$. Это означает, что $1 < \log_3 8 < 2$. Таким образом, число $\log_3 8$ расположено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: между 1 и 2.

3) log₁/₃ 30
Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_{1/3} 30$, обозначим это число как $x$: $x = \log_{1/3} 30$. По определению логарифма, это равенство эквивалентно $(1/3)^x = 30$. Поскольку $1/3 = 3^{-1}$, мы можем переписать уравнение как $(3^{-1})^x = 30$, то есть $3^{-x} = 30$. Теперь найдем, между какими последовательными целыми степенями числа 3 находится число 30. $3^3 = 27$ $3^4 = 81$ Мы видим, что $27 < 30 < 81$, следовательно $3^3 < 30 < 3^4$. Подставим $3^{-x}$ вместо 30: $3^3 < 3^{-x} < 3^4$. Так как показательная функция с основанием 3 возрастающая, мы можем сравнить показатели степеней: $3 < -x < 4$. Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на -1. При этом знаки неравенства меняются на противоположные: $-3 > x > -4$. Записав в стандартном порядке, получаем $-4 < x < -3$. Таким образом, число $\log_{1/3} 30$ расположено между последовательными целыми числами -4 и -3.
Ответ: между -4 и -3.

4) log₀,₁ 4,37
Найдем, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_{0,1} 4,37$. Обозначим это число как $x$: $x = \log_{0,1} 4,37$. По определению логарифма, $(0,1)^x = 4,37$. Поскольку $0,1 = 10^{-1}$, мы можем переписать уравнение как $(10^{-1})^x = 4,37$, то есть $10^{-x} = 4,37$. Теперь найдем, между какими последовательными целыми степенями числа 10 находится число 4,37. $10^0 = 1$ $10^1 = 10$ Мы видим, что $1 < 4,37 < 10$, следовательно $10^0 < 4,37 < 10^1$. Подставим $10^{-x}$ вместо 4,37: $10^0 < 10^{-x} < 10^1$. Так как показательная функция с основанием 10 возрастающая, мы можем сравнить показатели степеней: $0 < -x < 1$. Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки на противоположные: $0 > x > -1$. Записав в стандартном порядке, получаем $-1 < x < 0$. Таким образом, число $\log_{0,1} 4,37$ расположено между последовательными целыми числами -1 и 0.
Ответ: между -1 и 0.

394. Решите уравнение:

1) $\log_{0.2} (x^2 + 4x) = -1;$

2) $\lg x = 3 - \lg 20;$

3) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5;$

4) $\log_2 \log_3 \log_4 x = 0;$

5) $100^{\lg (x + 10)} = 10000;$

6) $\log_2 (9 - 2^x) = 7^{\log_7 (3 - x)};$

7) $\log_{2x} 64 - \log_{2x} 4 = 2;$

8) $\log_{x-1} (2x^2 - 4x + 1) = 2;$

9) $\frac{\log_2 (x^2 - x - 16) - 2}{\log_5 (x - 4)} = 0.$

1)

Исходное уравнение: $\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 4x > 0$

$x(x+4) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.

По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:

$x^2 + 4x = (0.2)^{-1}$

Так как $0.2 = \frac{1}{5}$, то $(0.2)^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 + 4x = 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверяем, входят ли найденные корни в ОДЗ:

- $x_1 = 1$: $1 \in (0, \infty)$, корень подходит.

- $x_2 = -5$: $-5 \in (-\infty, -4)$, корень подходит.

Ответ: $-5; 1$.

2)

Исходное уравнение: $\lg x = 3 - \lg 20$.

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем $\lg 20$ в левую часть уравнения:

$\lg x + \lg 20 = 3$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\lg(20x) = 3$

По определению десятичного логарифма ($\lg a = \log_{10} a$):

$20x = 10^3$

$20x = 1000$

$x = \frac{1000}{20}$

$x = 50$

Корень $x=50$ удовлетворяет ОДЗ ($50 > 0$).

Ответ: $50$.

3)

Исходное уравнение: $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5,5$.

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к одному основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2}\log_3 x$

$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3}\log_3 x$

Подставим в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x + \frac{1}{3}\log_3 x = 5,5$

Вынесем $\log_3 x$ за скобки:

$\log_3 x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 5,5$

$\log_3 x (\frac{6+3+2}{6}) = 5,5$

$\log_3 x \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{2}$

$\log_3 x = \frac{11}{2} \cdot \frac{6}{11}$

$\log_3 x = 3$

По определению логарифма:

$x = 3^3 = 27$

Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 > 0$).

Ответ: $27$.

4)

Исходное уравнение: $\log_2 \log_3 \log_4 x = 0$.

ОДЗ определяется вложенностью логарифмов:

1) $x > 0$

2) $\log_4 x > 0 \Rightarrow x > 4^0 \Rightarrow x > 1$

3) $\log_3(\log_4 x) > 0 \Rightarrow \log_4 x > 3^0 \Rightarrow \log_4 x > 1 \Rightarrow x > 4^1 \Rightarrow x > 4$

Общая ОДЗ: $x > 4$.

Решаем уравнение "снаружи внутрь":

$\log_2(\log_3 \log_4 x) = 0 \Rightarrow \log_3 \log_4 x = 2^0 = 1$

$\log_3(\log_4 x) = 1 \Rightarrow \log_4 x = 3^1 = 3$

$\log_4 x = 3 \Rightarrow x = 4^3 = 64$

Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 > 4$).

Ответ: $64$.

5)

Исходное уравнение: $100^{\lg(x+10)} = 10000$.

ОДЗ: $x+10 > 0 \Rightarrow x > -10$.

Представим обе части уравнения как степени числа 10:

$100 = 10^2$

$10000 = 10^4$

$(10^2)^{\lg(x+10)} = 10^4$

$10^{2\lg(x+10)} = 10^4$

Приравниваем показатели степеней:

$2\lg(x+10) = 4$

$\lg(x+10) = 2$

По определению десятичного логарифма:

$x+10 = 10^2$

$x+10 = 100$

$x = 90$

Корень $x=90$ удовлетворяет ОДЗ ($90 > -10$).

Ответ: $90$.

6)

Исходное уравнение: $\log_2(9-2^x) = 7^{\log_7(3-x)}$.

ОДЗ:

1) $9-2^x > 0 \Rightarrow 2^x < 9 \Rightarrow x < \log_2 9$

2) $3-x > 0 \Rightarrow x < 3$

Так как $\log_2 9 > \log_2 8 = 3$, то пересечением условий будет $x < 3$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ для правой части уравнения:

$7^{\log_7(3-x)} = 3-x$

Уравнение принимает вид:

$\log_2(9-2^x) = 3-x$

По определению логарифма:

$9-2^x = 2^{3-x}$

$9-2^x = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{2^x}$

Сделаем замену $y = 2^x$, где $y > 0$:

$9-y = \frac{8}{y}$

Домножим на $y$ ($y \neq 0$):

$9y - y^2 = 8$

$y^2 - 9y + 8 = 0$

Корни квадратного уравнения: $y_1 = 1$, $y_2 = 8$.

Возвращаемся к замене:

1) $2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x=0$.

2) $2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x=3$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x < 3$):

- $x=0$: $0 < 3$, корень подходит.

- $x=3$: $3 \not< 3$, корень не подходит.

Ответ: $0$.

7)

Исходное уравнение: $\log_{2x} 64 - \log_{2x} 4 = 2$.

ОДЗ: основание логарифма должно быть положительным и не равным 1.

1) $2x > 0 \Rightarrow x > 0$

2) $2x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_{2x}(\frac{64}{4}) = 2$

$\log_{2x} 16 = 2$

По определению логарифма:

$(2x)^2 = 16$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверяем корни по ОДЗ ($x>0, x \neq 1/2$):

- $x_1=2$: удовлетворяет ОДЗ.

- $x_2=-2$: не удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $2$.

8)

Исходное уравнение: $\log_{x-1}(2x^2 - 4x + 1) = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргумент логарифма — строго положительным:

1) $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

2) $x - 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$

3) $2x^2 - 4x + 1 > 0$. Корни квадратного трехчлена $2x^2 - 4x + 1=0$ равны $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 2) \cup (2, \infty)$.

Решаем уравнение, используя определение логарифма:

$2x^2 - 4x + 1 = (x-1)^2$

$2x^2 - 4x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ:

- $x_1 = 0$: не удовлетворяет условию $x > 1$.

- $x_2 = 2$: не удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Оба найденных значения не входят в область допустимых значений, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

9)

Исходное уравнение: $\frac{\log_2(x^2-x-16)-2}{\log_5(x-4)} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов.

Составим систему условий:

1) $\log_2(x^2-x-16)-2 = 0$ (числитель равен нулю)

2) $\log_5(x-4) \neq 0$ (знаменатель не равен нулю)

3) $x^2-x-16 > 0$ (ОДЗ числителя)

4) $x-4 > 0$ (ОДЗ знаменателя)

Начнем с решения уравнения из условия (1):

$\log_2(x^2-x-16) = 2$

$x^2-x-16 = 2^2$

$x^2-x-16 = 4$

$x^2-x-20 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Теперь проверим найденные корни по остальным условиям.

Проверка для $x_1 = 5$:

Условие (2): $\log_5(5-4) = \log_5(1) = 0$. Знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, $x=5$ не является корнем.

Проверка для $x_2 = -4$:

Условие (4): $x-4>0$. Подставляем $-4-4 = -8$. Неравенство $-8 > 0$ неверно. Аргумент логарифма в знаменателе отрицательный, что недопустимо. Следовательно, $x=-4$ не является корнем.

Так как ни один из потенциальных корней не удовлетворяет всем условиям, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.