Страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

422. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4$ на промежутке $[-2; 0];$

2) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ на промежутке $[0; 4];$

3) $f(x) = \cos x - \sin x$ на промежутке $[0; 2\pi];$

4) $f(x) = \sqrt{8x - x^2}$ на её области определения;

5) $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ на промежутке $[-2; \frac{1}{2}].$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4$ на промежутке $[-2; 0]$, воспользуемся алгоритмом.

Шаг 1: Найдём производную функции.
$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x - 4)' = 3x^2 - 6x - 9$.

Шаг 2: Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
$3x^2 - 6x - 9 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Шаг 3: Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[-2; 0]$.
Точка $x_1 = 3$ не принадлежит промежутку $[-2; 0]$.
Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку $[-2; 0]$.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке $x = -1$ и на концах промежутка, то есть в точках $x = -2$ и $x = 0$.
$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) - 4 = -8 - 12 + 18 - 4 = -6$.
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 4 = -1 - 3 + 9 - 4 = 1$.
$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 9(0) - 4 = -4$.

Шаг 5: Сравним полученные значения.
Наибольшее значение функции на промежутке равно 1, а наименьшее равно -6.

Ответ: Наибольшее значение: $1$; наименьшее значение: $-6$.

2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ на промежутке $[0; 4]$.

Шаг 1: Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного.
$f'(x) = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Шаг 2: Найдём критические точки.
Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как $\frac{2}{(x+1)^2} \neq 0$ ни при каком $x$. Производная существует во всех точках области определения функции, в частности на промежутке $[0; 4]$.

Шаг 3: Так как $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$ для всех $x$ из промежутка $[0; 4]$, функция является возрастающей на этом промежутке. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Шаг 4: Вычислим значения функции на концах промежутка.
$f(0) = \frac{0-1}{0+1} = -1$.
$f(4) = \frac{4-1}{4+1} = \frac{3}{5}$.

Ответ: Наибольшее значение: $\frac{3}{5}$; наименьшее значение: $-1$.

3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \cos x - \sin x$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

Шаг 1: Найдём производную функции.
$f'(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x$.

Шаг 2: Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
$-\sin x - \cos x = 0$
$\sin x = -\cos x$
Разделим обе части на $\cos x$ (это возможно, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x \neq 0$, и равенство не выполняется):
$\tan x = -1$.
На промежутке $[0; 2\pi]$ этому уравнению соответствуют два корня: $x_1 = \frac{3\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3: Обе критические точки принадлежат заданному промежутку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка.
$f(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
$f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
$f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$.
$f(2\pi) = \cos(2\pi) - \sin(2\pi) = 1 - 0 = 1$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $1$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то наибольшее значение равно $\sqrt{2}$, а наименьшее $-\sqrt{2}$.

Ответ: Наибольшее значение: $\sqrt{2}$; наименьшее значение: $-\sqrt{2}$.

4) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{8x - x^2}$ на её области определения.

Шаг 1: Найдём область определения функции. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
$8x - x^2 \ge 0$
$x(8 - x) \ge 0$
Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что область определения функции — это промежуток $[0; 8]$.

Шаг 2: Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(\sqrt{8x - x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{8x - x^2}} \cdot (8x - x^2)' = \frac{8 - 2x}{2\sqrt{8x - x^2}} = \frac{4 - x}{\sqrt{8x - x^2}}$.

Шаг 3: Найдём критические точки.
Приравняем числитель к нулю: $4 - x = 0 \implies x = 4$. Эта точка принадлежит области определения $[0; 8]$.
Производная не определена, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt{8x - x^2} = 0 \implies x=0$ или $x=8$. Эти точки являются концами области определения.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке $x=4$ и на концах области определения $x=0$ и $x=8$.
$f(0) = \sqrt{8(0) - 0^2} = 0$.
$f(4) = \sqrt{8(4) - 4^2} = \sqrt{32 - 16} = \sqrt{16} = 4$.
$f(8) = \sqrt{8(8) - 8^2} = \sqrt{64 - 64} = 0$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $0$ и $4$.

Ответ: Наибольшее значение: $4$; наименьшее значение: $0$.

5) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ на промежутке $\left[-2; \frac{1}{2}\right]$.

Шаг 1: Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(2x)'(x^2+1) - 2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.

Шаг 2: Найдём критические точки.
$f'(x) = 0 \implies 2-2x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
Знаменатель $(x^2+1)^2$ никогда не равен нулю, поэтому других критических точек нет.

Шаг 3: Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $\left[-2; \frac{1}{2}\right]$.
Точка $x_1 = 1$ не принадлежит промежутку.
Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке $x=-1$ и на концах промежутка $x=-2$ и $x=\frac{1}{2}$.
$f(-2) = \frac{2(-2)}{(-2)^2+1} = \frac{-4}{4+1} = -\frac{4}{5}$.
$f(-1) = \frac{2(-1)}{(-1)^2+1} = \frac{-2}{1+1} = -1$.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1} = \frac{1}{\frac{1}{4}+1} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $-\frac{4}{5}$, $-1$, $\frac{4}{5}$.
Наибольшее значение равно $\frac{4}{5}$, наименьшее равно $-1$.

Ответ: Наибольшее значение: $\frac{4}{5}$; наименьшее значение: $-1$.

423. Представьте число 15 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение квадрата первого из них на второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, их сумма равна 15. Запишем это в виде уравнения: $x + y = 15$

Из этого уравнения можно выразить $y$ через $x$: $y = 15 - x$

По условию, оба числа неотрицательные, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Так как $y = 15 - x$, то условие $y \ge 0$ означает $15 - x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 15$. Таким образом, переменная $x$ должна находиться в пределах от 0 до 15, то есть $x \in [0, 15]$.

Нам необходимо максимизировать произведение квадрата первого числа на второе. Обозначим это произведение функцией $P(x)$: $P(x) = x^2 \cdot y$ Подставим выражение для $y$: $P(x) = x^2(15 - x) = 15x^2 - x^3$

Чтобы найти наибольшее значение функции $P(x)$ на отрезке $[0, 15]$, нужно найти её производную и приравнять к нулю для определения критических точек. $P'(x) = (15x^2 - x^3)' = 2 \cdot 15x - 3x^2 = 30x - 3x^2$

Найдем критические точки, решив уравнение $P'(x) = 0$: $30x - 3x^2 = 0$ $3x(10 - x) = 0$ Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 10$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 15]$.

Теперь вычислим значения функции $P(x)$ в критических точках ($0$ и $10$) и на концах отрезка (которые совпадают с одной из критических точек и точкой $15$):

• При $x = 0$: $P(0) = 15 \cdot 0^2 - 0^3 = 0$
• При $x = 10$: $P(10) = 15 \cdot 10^2 - 10^3 = 15 \cdot 100 - 1000 = 1500 - 1000 = 500$
• При $x = 15$: $P(15) = 15 \cdot 15^2 - 15^3 = 15^3 - 15^3 = 0$

Сравнивая полученные значения, мы видим, что максимальное значение произведения равно 500 и достигается при $x = 10$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 15 - x = 15 - 10 = 5$

Таким образом, искомые числа — это 10 и 5.

Ответ: $15 = 10 + 5$.

424. Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Пусть одно из неотрицательных чисел равно $x$, тогда второе число будет равно $20 - x$. Согласно условию, оба числа должны быть неотрицательными, поэтому:
$x \ge 0$
$20 - x \ge 0 \implies x \le 20$
Таким образом, значение $x$ должно находиться в пределах отрезка $[0, 20]$.

Нам нужно найти наименьшее значение суммы кубов этих чисел. Составим функцию $S(x)$, представляющую собой сумму кубов этих двух чисел:
$S(x) = x^3 + (20 - x)^3$

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке $[0, 20]$, найдем ее производную:
$S'(x) = (x^3 + (20 - x)^3)'$
Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$S'(x) = 3x^2 + 3(20 - x)^2 \cdot (20 - x)' = 3x^2 + 3(20 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(20 - x)^2$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$S'(x) = 0$
$3x^2 - 3(20 - x)^2 = 0$
$x^2 - (20 - x)^2 = 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - (20 - x))(x + (20 - x)) = 0$
$(x - 20 + x)(20) = 0$
$(2x - 20) \cdot 20 = 0$
$2x - 20 = 0$
$2x = 20$
$x = 10$

Критическая точка $x = 10$ принадлежит отрезку $[0, 20]$. Чтобы определить, является ли это точкой минимума, и найти наименьшее значение функции на отрезке, вычислим значения функции $S(x)$ в этой точке и на концах отрезка:
При $x = 0$: $S(0) = 0^3 + (20 - 0)^3 = 0 + 8000 = 8000$.
При $x = 10$: $S(10) = 10^3 + (20 - 10)^3 = 10^3 + 10^3 = 1000 + 1000 = 2000$.
При $x = 20$: $S(20) = 20^3 + (20 - 20)^3 = 8000 + 0 = 8000$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что наименьшее значение суммы кубов равно $2000$ и достигается при $x = 10$. Если первое число $x=10$, то второе число равно $20 - 10 = 10$. Таким образом, искомые числа — это 10 и 10.

Ответ: Число 20 нужно представить в виде суммы $10 + 10$.

425. Найдите отрицательное число, разность которого с третью его куба

принимает наименьшее значение.

Пусть искомое отрицательное число будет $x$, где $x < 0$. Разность этого числа с третью его куба можно выразить функцией $f(x) = x - \frac{1}{3}x^3$. Нам необходимо найти значение $x$, при котором эта функция принимает наименьшее значение.

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную:
$f'(x) = (x - \frac{1}{3}x^3)' = 1 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 1 - x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$1 - x^2 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Согласно условию, мы ищем отрицательное число, поэтому нас интересует только критическая точка $x = -1$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную:
$f''(x) = (1 - x^2)' = -2x$

Подставим значение $x = -1$ во вторую производную:
$f''(-1) = -2(-1) = 2$

Поскольку $f''(-1) > 0$, точка $x = -1$ является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка в области $x < 0$, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения на множестве отрицательных чисел.

Ответ: -1

426. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см?

Пусть стороны вписанного прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, совпадает с диаметром этой окружности. По условию, радиус окружности $R = 25 \text{ см}$, значит, ее диаметр, а следовательно и диагональ $d$ прямоугольника, равен:

$d = 2R = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, имеем:

$a^2 + b^2 = d^2$

$a^2 + b^2 = 50^2 = 2500$

Нам необходимо найти максимальное значение площади $S = ab$. Максимизация положительной величины $S$ эквивалентна максимизации ее квадрата $S^2$.

$S^2 = a^2 b^2$

Из соотношения $a^2 + b^2 = 2500$ выразим $b^2$:

$b^2 = 2500 - a^2$

Подставим это выражение в формулу для квадрата площади:

$S^2 = a^2 (2500 - a^2)$

Для нахождения максимума этого выражения введем замену $x = a^2$. Тогда нам нужно найти максимум функции $f(x) = x(2500 - x)$ при $x > 0$. Раскрыв скобки, получим:

$f(x) = -x^2 + 2500x$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Своё максимальное значение такая функция принимает в вершине. Координата вершины $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{k}{2m}$, где $m$ и $k$ — коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно.

В нашем случае $m = -1$ и $k = 2500$.

$x_0 = -\frac{2500}{2 \cdot (-1)} = \frac{2500}{2} = 1250$

Таким образом, квадрат площади $S^2$ максимален, когда $a^2 = 1250$. Найдем соответствующее значение для $b^2$:

$b^2 = 2500 - a^2 = 2500 - 1250 = 1250$

Мы видим, что $a^2 = b^2$, а значит $a=b$. Это означает, что из всех прямоугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.

Вычислим эту максимальную площадь:

$S_{max} = ab = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{1250 \cdot 1250} = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250 \text{ см}^2$.

427. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 - 9x;$

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3;$

3) $f(x) = 6x^2 - 2x^3;$

4) $f(x) = (x^2 - 2)^2;$

5) $f(x) = 4 + x^2 - \frac{1}{4}x^4;$

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4};$

7) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2};$

8) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2}.$

1) $f(x) = x^3 - 9x$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

$f(-x) = (-x)^3 - 9(-x) = -x^3 + 9x = -(x^3 - 9x) = -f(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 0^3 - 9 \cdot 0 = 0$. Точка $(0,0)$.

С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3 - 9x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x(x-3)(x+3) = 0$. Точки $(-3,0)$, $(0,0)$, $(3,0)$.

4. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.

Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 9)' = 6x$.

Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $6x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Исследуем знак второй производной:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
• При $x \in (0, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз.

В точке $x = 0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $f(0)=0$.

6. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$.

Ответ: График функции — кубическая парабола. Точки пересечения с осями: $(-3,0), (0,0), (3,0)$. Точка локального максимума: $(-\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$. Точка локального минимума: $(\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$. Точка перегиба: $(0,0)$. Функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$ и убывает на $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$.

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y = -3$. Точка $(0,-3)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow x^4 - 2x^2 - 3 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2 - 2t - 3 = 0$, корни $t_1=3, t_2=-1$. Так как $t=x^2 \ge 0$, то $x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$. Точки $(-\sqrt{3},0), (\sqrt{3},0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

Критические точки: $x=0, x=-1, x=1$.

• $x \in (-\infty, -1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (-1, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, 1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x=-1$ — точка минимума, $y_{min} = f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

$x=0$ — точка максимума, $y_{max} = f(0) = -3$.

$x=1$ — точка минимума, $y_{min} = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2 - 1)$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

• $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (1/\sqrt{3}, +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.

Точки перегиба $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. $y = f(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{1}{9}) - 2(\frac{1}{3}) - 3 = \frac{1-6-27}{9} = -\frac{32}{9}$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кривая, симметричная относительно оси OY. Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, 0), (0, -3)$. Точки минимума: $(-1, -4)$ и $(1, -4)$. Точка локального максимума: $(0, -3)$. Точки перегиба: $(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{32}{9})$.

3) $f(x) = 6x^2 - 2x^3$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = 6(-x)^2 - 2(-x)^3 = 6x^2 + 2x^3$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0,0)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow 6x^2 - 2x^3 = 0 \Rightarrow 2x^2(3-x) = 0$. Точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 12x - 6x^2 = 6x(2-x)$.

Критические точки: $x=0, x=2$.

• $x \in (-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (0, 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

$x=0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 0$.

$x=2$ — точка максимума, $y_{max} = f(2) = 6(4) - 2(8) = 24-16=8$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = 12 - 12x = 12(1-x)$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow x=1$.

• $x \in (-\infty, 1)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (1, +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

$x=1$ — точка перегиба. $y = f(1) = 6 - 2 = 4$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кубическая кривая. Точки пересечения с осями: $(0,0), (3,0)$. Точка минимума: $(0,0)$. Точка максимума: $(2,8)$. Точка перегиба: $(1,4)$.

4) $f(x) = (x^2 - 2)^2$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = ((-x)^2 - 2)^2 = (x^2 - 2)^2 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y=(-2)^2=4$. Точка $(0,4)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow (x^2-2)^2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$. Точки $(-\sqrt{2},0), (\sqrt{2},0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 2(x^2 - 2) \cdot 2x = 4x(x^2 - 2)$.

Критические точки: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (-\sqrt{2}, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, \sqrt{2})$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x = \pm\sqrt{2}$ — точки минимума, $y_{min} = f(\pm\sqrt{2}) = 0$.

$x=0$ — точка максимума, $y_{max} = f(0) = 4$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f(x) = x^4 - 4x^2 + 4$, $f'(x)=4x^3-8x$, $f''(x) = 12x^2 - 8 = 4(3x^2 - 2)$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2/3}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.

Точки перегиба $x=\pm\sqrt{2/3}$. $y = f(\pm\sqrt{2/3}) = (2/3 - 2)^2 = (-4/3)^2 = 16/9$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кривая, симметричная относительно оси OY. Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0), (0, 4)$. Точки минимума: $(-\sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$. Точка локального максимума: $(0, 4)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}, 16/9)$.

5) $f(x) = 4 + x^2 - \frac{1}{4}x^4$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = 4 + (-x)^2 - \frac{1}{4}(-x)^4 = 4 + x^2 - \frac{1}{4}x^4 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y=4$. Точка $(0,4)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow x^4 - 4x^2 - 16 = 0$. $x^2 = 2 \pm 2\sqrt{5}$. Учитывая $x^2 \ge 0$, имеем $x^2=2+2\sqrt{5}$, $x = \pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}$. Точки $(\pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}, 0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 2x - x^3 = x(2 - x^2)$.

Критические точки: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (-\sqrt{2}, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (0, \sqrt{2})$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

$x = \pm\sqrt{2}$ — точки максимума, $y_{max} = f(\pm\sqrt{2}) = 4+2-\frac{1}{4}(4) = 5$.

$x=0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 4$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = 2 - 3x^2$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow x^2=2/3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2/3}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

Точки перегиба $x=\pm\sqrt{2/3}$. $y = f(\pm\sqrt{2/3}) = 4 + 2/3 - \frac{1}{4}(4/9) = 4 + 2/3 - 1/9 = 41/9$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кривая, симметричная относительно оси OY. Точки пересечения с осями: $(\pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}, 0), (0, 4)$. Точки максимума: $(-\sqrt{2}, 5), (\sqrt{2}, 5)$. Точка локального минимума: $(0, 4)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}, 41/9)$.

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$

1. Область определения. $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY и OX: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0,0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2}$.

Критическая точка: $x=0$.

• $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

$x=0$ — точка максимума, $y_{max} = f(0) = 0$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = \frac{-8(x^2-4)^2 - (-8x) \cdot 2(x^2-4) \cdot 2x}{(x^2-4)^4} = \frac{-8(x^2-4) + 32x^2}{(x^2-4)^3} = \frac{24x^2 + 32}{(x^2-4)^3}$.

Числитель всегда положителен. Знак $f''(x)$ зависит от знака знаменателя.

• $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (-2, 2)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

Точек перегиба нет.

6. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2-4} = 1$. $y=1$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, состоит из трех ветвей. Точка пересечения с осями: $(0,0)$, это также точка локального максимума. Вертикальные асимптоты $x=-2, x=2$. Горизонтальная асимптота $y=1$. График выпуклый вниз на $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-2, 2)$.

7) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. Область определения. $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

Пересечений с осями нет, так как $x \ne 0$ и $f(x)>0$ для всех $x$ из $D(f)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 2x - \frac{2}{x^3} = \frac{2(x^4-1)}{x^3}$.

Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow x^4-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$.

• $x \in (-\infty, -1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (-1, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, 1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x = \pm 1$ — точки минимума. $y_{min} = f(\pm 1) = 1+1=2$.

5. Вторая производная, выпуклость.

$f''(x) = 2 + \frac{6}{x^4}$.

Так как $x^4 > 0$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения. График функции всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

6. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0} (x^2 + \frac{1}{x^2}) = +\infty$.

Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, состоит из двух ветвей, расположен в верхней полуплоскости. Точки минимума: $(-1,2)$ и $(1,2)$. Вертикальная асимптота $x=0$. График везде выпуклый вниз.

8) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2}$

1. Область определения. $x^2+2 > 0$ для всех $x$, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2+2} = \frac{x^2}{x^2+2} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY и OX: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0,0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = \frac{2x(x^2+2) - x^2(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{4x}{(x^2+2)^2}$.

Критическая точка: $x=0$.

• $x \in (-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (0, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x=0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 0$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = \frac{4(x^2+2)^2 - 4x \cdot 2(x^2+2) \cdot 2x}{(x^2+2)^4} = \frac{4(x^2+2) - 16x^2}{(x^2+2)^3} = \frac{8-12x^2}{(x^2+2)^3}$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow 8-12x^2=0 \Rightarrow x^2 = 2/3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2/3}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

Точки перегиба $x=\pm\sqrt{2/3}$. $y = f(\pm\sqrt{2/3}) = \frac{2/3}{2/3+2} = \frac{2/3}{8/3} = 1/4$.

6. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2+2} = 1$. $y=1$.

Ответ: График — "шапочка", симметричная относительно оси OY. Начало координат $(0,0)$ — точка минимума. Горизонтальная асимптота $y=1$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}, 1/4)$.

428. Найдите общий вид первообразных для функции:

1) $f(x) = x - \frac{2}{x^5}$ на промежутке $(-\infty; 0);$

2) $f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

3) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}$ на промежутке $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3});$

4) $f(x) = 2 + \frac{4}{x - 1}$ на промежутке $(-\infty; 1);$

5) $f(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$ на промежутке $(-\infty; +\infty);$

6) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} - \cos \frac{x}{4}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty).$

1) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = x - \frac{2}{x^5}$ на промежутке $(-\infty; 0)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Перепишем функцию в степенном виде для удобства интегрирования: $f(x) = x^1 - 2x^{-5}$.

Применяя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (x - 2x^{-5}) \,dx = \int x \,dx - 2 \int x^{-5} \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 2 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^2}{2} - 2 \frac{x^{-4}}{-4} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x^{-4} + C$.

Запишем результат в виде дроби:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C$.

2) Для функции $f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$, представим ее в виде $f(x) = 3x^{-4} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Интегрируем функцию $f(x)$ для нахождения общего вида первообразных $F(x)$:

$F(x) = \int (3x^{-4} + \frac{1}{2}x^{-1/2}) \,dx = 3 \int x^{-4} \,dx + \frac{1}{2} \int x^{-1/2} \,dx = 3 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + \frac{1}{2} \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 3 \frac{x^{-3}}{-3} + \frac{1}{2} \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = -x^{-3} + x^{1/2} + C$.

Запишем результат в исходных обозначениях:

$F(x) = -\frac{1}{x^3} + \sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^3} + \sqrt{x} + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}$ на промежутке $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3})$ найдем общий вид первообразных.

Используем табличные интегралы: $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} \,dx = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} \,dx = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$.

$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}) \,dx = 2 \int \frac{dx}{\cos^2 2x} + 3 \int \frac{dx}{\sin^2 3x} = 2 \cdot (\frac{1}{2}\tan(2x)) + 3 \cdot (-\frac{1}{3}\cot(3x)) + C = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.

На заданном промежутке $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3})$ функции $\tan(2x)$ и $\cot(3x)$ определены.

Ответ: $F(x) = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.

4) Для функции $f(x) = 2 + \frac{4}{x-1}$ на промежутке $(-\infty; 1)$ найдем общий вид первообразных.

Интегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (2 + \frac{4}{x-1}) \,dx = \int 2 \,dx + 4 \int \frac{1}{x-1} \,dx$.

Первый интеграл равен $2x$. Второй интеграл является табличным: $\int \frac{1}{x-1} \,dx = \ln|x-1| + C$.

Таким образом, $F(x) = 2x + 4\ln|x-1| + C$.

Так как по условию $x \in (-\infty; 1)$, то $x < 1$, и следовательно, $x-1 < 0$. Поэтому $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

Окончательный вид первообразной: $F(x) = 2x + 4\ln(1-x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 2x + 4\ln(1-x) + C$.

5) Для функции $f(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$ найдем общий вид первообразных.

Используем табличный интеграл для экспоненциальной функции $\int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.

$F(x) = \int (e^{5x} - 7e^{-4x}) \,dx = \int e^{5x} \,dx - 7 \int e^{-4x} \,dx = \frac{1}{5}e^{5x} - 7 (\frac{1}{-4}e^{-4x}) + C = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$.

6) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} - \cos\frac{x}{4}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty)$ найдем общий вид первообразных.

Перепишем первое слагаемое в степенном виде: $f(x) = (2x+1)^{-1/2} - \cos(\frac{1}{4}x)$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int (2x+1)^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{1/2}}{1/2} = (2x+1)^{1/2} = \sqrt{2x+1}$.

$\int \cos(\frac{x}{4}) \,dx = \frac{1}{1/4} \sin(\frac{x}{4}) = 4\sin(\frac{x}{4})$.

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = \sqrt{2x+1} - 4\sin(\frac{x}{4}) + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{2x+1} - 4\sin(\frac{x}{4}) + C$.