Номер 422, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 422, страница 256.

422. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4$ на промежутке $[-2; 0];$

2) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ на промежутке $[0; 4];$

3) $f(x) = \cos x - \sin x$ на промежутке $[0; 2\pi];$

4) $f(x) = \sqrt{8x - x^2}$ на её области определения;

5) $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ на промежутке $[-2; \frac{1}{2}].$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4$ на промежутке $[-2; 0]$, воспользуемся алгоритмом.

Шаг 1: Найдём производную функции.
$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x - 4)' = 3x^2 - 6x - 9$.

Шаг 2: Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
$3x^2 - 6x - 9 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Шаг 3: Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[-2; 0]$.
Точка $x_1 = 3$ не принадлежит промежутку $[-2; 0]$.
Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку $[-2; 0]$.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке $x = -1$ и на концах промежутка, то есть в точках $x = -2$ и $x = 0$.
$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) - 4 = -8 - 12 + 18 - 4 = -6$.
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 4 = -1 - 3 + 9 - 4 = 1$.
$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 9(0) - 4 = -4$.

Шаг 5: Сравним полученные значения.
Наибольшее значение функции на промежутке равно 1, а наименьшее равно -6.

Ответ: Наибольшее значение: $1$; наименьшее значение: $-6$.

---

2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ на промежутке $[0; 4]$.

Шаг 1: Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного.
$f'(x) = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Шаг 2: Найдём критические точки.
Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как $\frac{2}{(x+1)^2} \neq 0$ ни при каком $x$. Производная существует во всех точках области определения функции, в частности на промежутке $[0; 4]$.

Шаг 3: Так как $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$ для всех $x$ из промежутка $[0; 4]$, функция является возрастающей на этом промежутке. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Шаг 4: Вычислим значения функции на концах промежутка.
$f(0) = \frac{0-1}{0+1} = -1$.
$f(4) = \frac{4-1}{4+1} = \frac{3}{5}$.

Ответ: Наибольшее значение: $\frac{3}{5}$; наименьшее значение: $-1$.

---

3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \cos x - \sin x$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

Шаг 1: Найдём производную функции.
$f'(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x$.

Шаг 2: Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
$-\sin x - \cos x = 0$
$\sin x = -\cos x$
Разделим обе части на $\cos x$ (это возможно, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x \neq 0$, и равенство не выполняется):
$\tan x = -1$.
На промежутке $[0; 2\pi]$ этому уравнению соответствуют два корня: $x_1 = \frac{3\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3: Обе критические точки принадлежат заданному промежутку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка.
$f(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
$f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
$f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$.
$f(2\pi) = \cos(2\pi) - \sin(2\pi) = 1 - 0 = 1$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $1$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то наибольшее значение равно $\sqrt{2}$, а наименьшее $-\sqrt{2}$.

Ответ: Наибольшее значение: $\sqrt{2}$; наименьшее значение: $-\sqrt{2}$.

---

4) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{8x - x^2}$ на её области определения.

Шаг 1: Найдём область определения функции. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
$8x - x^2 \ge 0$
$x(8 - x) \ge 0$
Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что область определения функции — это промежуток $[0; 8]$.

Шаг 2: Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(\sqrt{8x - x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{8x - x^2}} \cdot (8x - x^2)' = \frac{8 - 2x}{2\sqrt{8x - x^2}} = \frac{4 - x}{\sqrt{8x - x^2}}$.

Шаг 3: Найдём критические точки.
Приравняем числитель к нулю: $4 - x = 0 \implies x = 4$. Эта точка принадлежит области определения $[0; 8]$.
Производная не определена, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt{8x - x^2} = 0 \implies x=0$ или $x=8$. Эти точки являются концами области определения.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке $x=4$ и на концах области определения $x=0$ и $x=8$.
$f(0) = \sqrt{8(0) - 0^2} = 0$.
$f(4) = \sqrt{8(4) - 4^2} = \sqrt{32 - 16} = \sqrt{16} = 4$.
$f(8) = \sqrt{8(8) - 8^2} = \sqrt{64 - 64} = 0$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $0$ и $4$.

Ответ: Наибольшее значение: $4$; наименьшее значение: $0$.

---

5) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ на промежутке $\left[-2; \frac{1}{2}\right]$.

Шаг 1: Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(2x)'(x^2+1) - 2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.

Шаг 2: Найдём критические точки.
$f'(x) = 0 \implies 2-2x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
Знаменатель $(x^2+1)^2$ никогда не равен нулю, поэтому других критических точек нет.

Шаг 3: Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $\left[-2; \frac{1}{2}\right]$.
Точка $x_1 = 1$ не принадлежит промежутку.
Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке $x=-1$ и на концах промежутка $x=-2$ и $x=\frac{1}{2}$.
$f(-2) = \frac{2(-2)}{(-2)^2+1} = \frac{-4}{4+1} = -\frac{4}{5}$.
$f(-1) = \frac{2(-1)}{(-1)^2+1} = \frac{-2}{1+1} = -1$.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1} = \frac{1}{\frac{1}{4}+1} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $-\frac{4}{5}$, $-1$, $\frac{4}{5}$.
Наибольшее значение равно $\frac{4}{5}$, наименьшее равно $-1$.

Ответ: Наибольшее значение: $\frac{4}{5}$; наименьшее значение: $-1$.