Номер 416, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 416, страница 254.

416. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{3x^2 - 8}$, которая параллельна прямой $y = 3x + 5$.

Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, нам необходимо выполнить следующие шаги: найти уравнение этой касательной, определить точки ее пересечения с осями координат, а затем вычислить площадь получившегося прямоугольного треугольника.

1. Нахождение углового коэффициента и точки касания

Условие гласит, что искомая касательная параллельна прямой $y = 3x + 5$. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (наклон). Следовательно, угловой коэффициент нашей касательной $k$ также равен 3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x^2 - 8}$:

$f'(x) = (\sqrt{3x^2 - 8})' = \frac{1}{2\sqrt{3x^2 - 8}} \cdot (3x^2 - 8)' = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2 - 8}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 - 8}}$

Теперь приравняем производную к известному угловому коэффициенту $k=3$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 3 \implies \frac{3x_0}{\sqrt{3x_0^2 - 8}} = 3$

Так как значение корня в знаменателе всегда положительно, для выполнения равенства числитель $3x_0$ также должен быть положительным, что означает $x_0 > 0$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{x_0}{\sqrt{3x_0^2 - 8}} = 1$

Отсюда следует, что $x_0 = \sqrt{3x_0^2 - 8}$. Возведем обе части в квадрат:

$x_0^2 = 3x_0^2 - 8$

$2x_0^2 = 8$

$x_0^2 = 4$

$x_0 = \pm 2$

Учитывая условие $x_0 > 0$, мы выбираем $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:

$y_0 = f(2) = \sqrt{3(2)^2 - 8} = \sqrt{3 \cdot 4 - 8} = \sqrt{12 - 8} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; 2)$.

2. Составление уравнения касательной

Общее уравнение касательной в точке $(x_0; y_0)$ с угловым коэффициентом $k$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим наши значения: $x_0 = 2$, $y_0 = 2$, $k = 3$.

$y - 2 = 3(x - 2)$

$y - 2 = 3x - 6$

$y = 3x - 4$

3. Вычисление площади треугольника

Треугольник образован касательной $y = 3x - 4$ и осями координат $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX). Это прямоугольный треугольник, вершины которого — начало координат и точки пересечения касательной с осями.

Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$ в уравнение касательной:

$y = 3(0) - 4 = -4$.

Точка пересечения с OY — $(0; -4)$. Длина одного катета равна $|-4| = 4$.

Найдем точку пересечения с осью OX, подставив $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 = 3x - 4$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$.

Точка пересечения с OX — $(\frac{4}{3}; 0)$. Длина второго катета равна $\frac{4}{3}$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.