Номер 409, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 409, страница 254.

409. Укажите среди данных функций ту функцию, касательная к которой в точке с абсциссой $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ параллельна биссектрисе первого координатного угла:

1) $y = \sin x$;

2) $y = \cos x$;

3) $y = \operatorname{ctg} x$.

Для решения задачи необходимо найти функцию, угловой коэффициент касательной к графику которой в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ равен угловому коэффициенту биссектрисы первого координатного угла.

1. Уравнение биссектрисы первого координатного угла — это $y = x$. Ее угловой коэффициент равен $1$.

2. Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Следовательно, угловой коэффициент касательной к искомой функции в точке $x_0$ должен быть равен $1$.

3. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. То есть, $k = f'(x_0)$.

Таким образом, нам нужно найти функцию, для которой выполняется условие $f'(\frac{3\pi}{2}) = 1$. Проверим каждую из предложенных функций.

1) $y = \sin x$

Находим производную функции: $y' = (\sin x)' = \cos x$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$:

$y'(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Поскольку $0 \neq 1$, данная функция не удовлетворяет условию задачи.

2) $y = \cos x$

Находим производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$:

$y'(\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.

Поскольку $1 = 1$, данная функция удовлетворяет условию задачи.

3) $y = \operatorname{ctg} x$

Находим производную функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$:

$y'(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{3\pi}{2})} = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, данная функция не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственная функция из предложенных, которая удовлетворяет условию, это $y = \cos x$.

Ответ: 2) $y = \cos x$.