Номер 406, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 406, страница 254.

406. Решите неравенство $f'(x) \ge g'(x)$, если:

1) $f(x) = x^3 + x - \sqrt{3}$, $g(x) = 3x^2 - x - \ln 2$;

2) $f(x) = x - x^3$, $g(x) = \frac{2}{x}$;

3) $f(x) = 2 \cdot 3^x$, $g(x) = 9^{x-1}$.

1)

Даны функции $f(x) = x^3 + x - \sqrt{3}$ и $g(x) = 3x^2 - x - \ln 2$.

Для решения неравенства $f'(x) \geq g'(x)$ сначала найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x - \sqrt{3})' = (x^3)' + (x)' - (\sqrt{3})' = 3x^2 + 1 - 0 = 3x^2 + 1$.

Производная функции $g(x)$:
$g'(x) = (3x^2 - x - \ln 2)' = (3x^2)' - (x)' - (\ln 2)' = 3 \cdot 2x - 1 - 0 = 6x - 1$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$:
$3x^2 + 1 \geq 6x - 1$.

Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 6x + 1 + 1 \geq 0$
$3x^2 - 6x + 2 \geq 0$.

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 6x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 - 6x + 2$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0). Следовательно, неравенство $3x^2 - 6x + 2 \geq 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

2)

Даны функции $f(x) = x - x^3$ и $g(x) = \frac{2}{x}$.

Найдем производные этих функций. Область определения функции $g(x)$ и ее производной: $x \neq 0$.

Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - x^3)' = 1 - 3x^2$.

Производная функции $g(x) = 2x^{-1}$:
$g'(x) = (2x^{-1})' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$ с учетом области определения $x \neq 0$:
$1 - 3x^2 \geq -\frac{2}{x^2}$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$1 - 3x^2 + \frac{2}{x^2} \geq 0$
$\frac{x^2 - 3x^4 + 2}{x^2} \geq 0$.

Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, знак дроби совпадает со знаком числителя. Решаем неравенство:
$-3x^4 + x^2 + 2 \geq 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$3x^4 - x^2 - 2 \leq 0$.

Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$.
$3t^2 - t - 2 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 - t - 2 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$.
$t_1 = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{1+5}{6} = 1$.

Парабола $y = 3t^2 - t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $3t^2 - t - 2 \leq 0$ выполняется при $t \in [-\frac{2}{3}; 1]$.

Вернемся к замене $t = x^2$ и учтем, что $t > 0$:
$0 < x^2 \leq 1$.

Неравенство $x^2 \leq 1$ равносильно $-1 \leq x \leq 1$.
Учитывая условие $x \neq 0$, получаем решение: $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$.

Ответ: $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$.

3)

Даны функции $f(x) = 2 \cdot 3^x$ и $g(x) = 9^{x-1}$.

Найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$ (используя правило $(c \cdot a^x)' = c \cdot a^x \ln a$):
$f'(x) = (2 \cdot 3^x)' = 2 \cdot 3^x \ln 3$.

Для нахождения производной $g(x)$ сначала преобразуем функцию: $g(x) = 9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}$.
Теперь найдем производную (используя правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$):
$g'(x) = (3^{2x-2})' = 3^{2x-2} \cdot \ln 3 \cdot (2x-2)' = 3^{2x-2} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 2 \cdot 3^{2x-2} \ln 3$.

Составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$:
$2 \cdot 3^x \ln 3 \geq 2 \cdot 3^{2x-2} \ln 3$.

Поскольку $2\ln 3 > 0$, можно разделить обе части неравенства на $2\ln 3$ без изменения знака:
$3^x \geq 3^{2x-2}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей степени:
$x \geq 2x - 2$.

Решим линейное неравенство:
$2 \geq 2x - x$
$2 \geq x$, или $x \leq 2$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.