Номер 399, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 399, страница 252.

399. Решите уравнение:

1) $ \lg (2x - 1) + \lg (x + 5) = \lg 13; $

2) $ \log_3 (2x - 7) + \log_3 (x - 1) = 2 + \log_3 2; $

3) $ \log_{0.5} (4 - x) + \log_{0.5} (x - 1) = -1; $

4) $ \log_7 (-x) + \log_7 (1 - x) = \log_7 (x + 3). $

1) $\lg(2x - 1) + \lg(x + 5) = \lg 13$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 1 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0.5 \\ x > -5 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0.5$.

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\lg((2x - 1)(x + 5)) = \lg 13$
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(2x - 1)(x + 5) = 13$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 + 10x - x - 5 = 13$
$2x^2 + 9x - 18 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > 0.5$).
Корень $x_1 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 < 0.5$.
Корень $x_2 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1.5 > 0.5$.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $1.5$

2) $\log_3(2x - 7) + \log_3(x - 1) = 2 + \log_3 2$
ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 7 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 7 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3.5 \\ x > 1 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 3.5$.

Преобразуем правую часть уравнения. Представим число 2 как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.
Уравнение примет вид:
$\log_3(2x - 7) + \log_3(x - 1) = \log_3 9 + \log_3 2$
Применим свойство суммы логарифмов к обеим частям уравнения:
$\log_3((2x - 7)(x - 1)) = \log_3(9 \cdot 2)$
$\log_3(2x^2 - 2x - 7x + 7) = \log_3 18$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$2x^2 - 9x + 7 = 18$
$2x^2 - 9x - 11 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$
$x_1 = \frac{9 - 13}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{9 + 13}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 3.5$).
$x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 5.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $5.5$

3) $\log_{0.5}(4 - x) + \log_{0.5}(x - 1) = -1$
ОДЗ: $\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 1 \end{cases}$
ОДЗ: $1 < x < 4$.

Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_{0.5}((4 - x)(x - 1)) = -1$
По определению логарифма ($y = \log_a x \iff a^y = x$):
$(4 - x)(x - 1) = 0.5^{-1}$
$(4 - x)(x - 1) = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$4x - 4 - x^2 + x = 2$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
Умножим на -1, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Оба корня, $2$ и $3$, принадлежат интервалу ОДЗ ($1 < x < 4$).
Ответ: $2; 3$

4) $\log_7(-x) + \log_7(1 - x) = \log_7(x + 3)$
ОДЗ: $\begin{cases} -x > 0 \\ 1 - x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 1 \\ x > -3 \end{cases}$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $-3 < x < 0$.

Применяем свойство суммы логарифмов к левой части уравнения:
$\log_7((-x)(1 - x)) = \log_7(x + 3)$
Приравниваем аргументы:
$(-x)(1 - x) = x + 3$
$-x + x^2 = x + 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($-3 < x < 0$).
$x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < -1 < 0$.
Ответ: $-1$