Номер 404, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 404, страница 253.

404. Найдите производную функции:

1) $y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} - 1$;

2) $y = (x^2 + x + 1)(x^2 - 4x + 1)$;

3) $y = \frac{3x - 1}{x^2 + 1}$;

4) $y = (3 - 2x)\sqrt{x}$;

5) $y = \sqrt{x} \sin x$;

6) $y = 2^x \cos x$;

7) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{6}$;

8) $y = (2x - 1)^6$;

9) $y = \log_3 (2x^2 - 3x + 1)$;

10) $y = 14^{2 - 5x}$;

11) $y = x^3 + \ln (6x - 1)$;

12) $y = \frac{1}{2x^3} + \frac{4}{x}$.

1) $y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} - 1$

Для нахождения производной представим функцию в виде суммы степенных функций:$y = x^6 + 2x^4 + 4x^{-2} - 1$.Используем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.$y' = (x^6)' + (2x^4)' + (4x^{-2})' - (1)'$$y' = 6x^{6-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} + 4 \cdot (-2)x^{-2-1} - 0$$y' = 6x^5 + 8x^3 - 8x^{-3}$Представим результат без отрицательных степеней:$y' = 6x^5 + 8x^3 - \frac{8}{x^3}$

Ответ: $y' = 6x^5 + 8x^3 - \frac{8}{x^3}$

2) $y = (x^2 + x + 1)(x^2 - 4x + 1)$

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить выражение:$y = x^2(x^2 - 4x + 1) + x(x^2 - 4x + 1) + 1(x^2 - 4x + 1)$$y = x^4 - 4x^3 + x^2 + x^3 - 4x^2 + x + x^2 - 4x + 1$Приведем подобные слагаемые:$y = x^4 + (-4x^3 + x^3) + (x^2 - 4x^2 + x^2) + (x - 4x) + 1$$y = x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 3x + 1$Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции:$y' = (x^4)' - (3x^3)' - (2x^2)' - (3x)' + (1)'$$y' = 4x^3 - 3 \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x - 3 + 0$$y' = 4x^3 - 9x^2 - 4x - 3$

Ответ: $y' = 4x^3 - 9x^2 - 4x - 3$

3) $y = \frac{3x - 1}{x^2 + 1}$

Используем правило дифференцирования частного (дроби) $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u = 3x - 1$ и $v = x^2 + 1$.Тогда $u' = (3x-1)' = 3$ и $v' = (x^2 + 1)' = 2x$.Подставляем в формулу:$y' = \frac{(3x - 1)'(x^2 + 1) - (3x - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}$$y' = \frac{3(x^2 + 1) - (3x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$Раскроем скобки в числителе:$y' = \frac{3x^2 + 3 - (6x^2 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$Приведем подобные слагаемые в числителе:$y' = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$

4) $y = (3 - 2x)\sqrt{x}$

Преобразуем выражение, раскрыв скобки: $y = 3\sqrt{x} - 2x\sqrt{x}$.Представим корни как степени: $y = 3x^{1/2} - 2x \cdot x^{1/2} = 3x^{1/2} - 2x^{3/2}$.Теперь найдем производную как сумму степенных функций:$y' = (3x^{1/2})' - (2x^{3/2})'$$y' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$$y' = \frac{3}{2}x^{-1/2} - 3x^{1/2}$Вернемся к записи с корнями:$y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 3\sqrt{x}$

Ответ: $y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 3\sqrt{x}$

5) $y = \sqrt{x} \sin x$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sin x$.Тогда $u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v' = (\sin x)' = \cos x$.Подставляем в формулу:$y' = (\sqrt{x})' \sin x + \sqrt{x} (\sin x)'$$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\sin x + \sqrt{x}\cos x$

Ответ: $y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos x$

6) $y = 2^x \cos x$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.Пусть $u = 2^x$ и $v = \cos x$.Используем формулы $(a^x)' = a^x \ln a$ и $(\cos x)' = -\sin x$.$u' = (2^x)' = 2^x \ln 2$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.Подставляем в формулу:$y' = (2^x)' \cos x + 2^x (\cos x)'$$y' = (2^x \ln 2)\cos x + 2^x(-\sin x)$Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:$y' = 2^x(\ln 2 \cdot \cos x - \sin x)$

Ответ: $y' = 2^x(\cos x \ln 2 - \sin x)$

7) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{6}$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg} u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{\cos^2 u}$.Внутренняя функция $g(x) = \frac{x}{6}$, ее производная $g'(x) = (\frac{1}{6}x)' = \frac{1}{6}$.Собираем все вместе:$y' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{6})} \cdot (\frac{x}{6})'$$y' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{6})} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6\cos^2(\frac{x}{6})}$

Ответ: $y' = \frac{1}{6\cos^2(\frac{x}{6})}$

8) $y = (2x - 1)^6$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции.Внешняя функция $f(u) = u^6$, ее производная $f'(u) = 6u^5$.Внутренняя функция $g(x) = 2x - 1$, ее производная $g'(x) = 2$.Подставляем в формулу:$y' = 6(2x - 1)^{6-1} \cdot (2x - 1)'$$y' = 6(2x - 1)^5 \cdot 2$$y' = 12(2x - 1)^5$

Ответ: $y' = 12(2x - 1)^5$

9) $y = \log_3(2x^2 - 3x + 1)$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a}$.Внешняя функция $f(u) = \log_3 u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u \ln 3}$.Внутренняя функция $g(x) = 2x^2 - 3x + 1$, ее производная $g'(x) = 4x - 3$.Собираем все вместе:$y' = \frac{1}{(2x^2 - 3x + 1) \ln 3} \cdot (2x^2 - 3x + 1)'$$y' = \frac{1}{(2x^2 - 3x + 1) \ln 3} \cdot (4x - 3)$$y' = \frac{4x - 3}{(2x^2 - 3x + 1) \ln 3}$

Ответ: $y' = \frac{4x - 3}{(2x^2 - 3x + 1)\ln 3}$

10) $y = 14^{2 - 5x}$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.Здесь $a = 14$ и $u = 2 - 5x$.Производная показателя степени: $u' = (2 - 5x)' = -5$.Подставляем в формулу:$y' = 14^{2 - 5x} \cdot \ln 14 \cdot (2 - 5x)'$$y' = 14^{2 - 5x} \cdot \ln 14 \cdot (-5)$$y' = -5 \cdot 14^{2 - 5x} \ln 14$

Ответ: $y' = -5 \cdot 14^{2 - 5x} \ln 14$

11) $y = x^3 + \ln(6x - 1)$

Используем правило дифференцирования суммы. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^2$.Производная второго слагаемого $\ln(6x - 1)$ — это производная сложной функции.Внешняя функция $f(u) = \ln u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u}$.Внутренняя функция $g(x) = 6x - 1$, ее производная $g'(x) = 6$.$(\ln(6x - 1))' = \frac{1}{6x - 1} \cdot (6x-1)' = \frac{1}{6x - 1} \cdot 6 = \frac{6}{6x - 1}$.Складываем производные:$y' = 3x^2 + \frac{6}{6x - 1}$

Ответ: $y' = 3x^2 + \frac{6}{6x - 1}$

12) $y = \frac{1}{2x^3} + \frac{4}{x}$

Представим функцию в виде суммы степенных функций:$y = \frac{1}{2}x^{-3} + 4x^{-1}$.Используем правило дифференцирования суммы и формулу для степенной функции:$y' = (\frac{1}{2}x^{-3})' + (4x^{-1})'$$y' = \frac{1}{2} \cdot (-3)x^{-3-1} + 4 \cdot (-1)x^{-1-1}$$y' = -\frac{3}{2}x^{-4} - 4x^{-2}$Перепишем результат с положительными степенями:$y' = -\frac{3}{2x^4} - \frac{4}{x^2}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{2x^4} - \frac{4}{x^2}$