Номер 397, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 397, страница 252.

397. Решите неравенство:

1) $ \log_6 (x + 1) < \log_6 (2x + 5); $

2) $ \log_2 (2x - 3) > \log_2 (3x - 5); $

3) $ \ln (x^2 - 3) > \ln (3x - 7); $

4) $ \log_{0.7} (3x - 1) < \log_{0.7} (3 - x); $

5) $ \log_{0.4} (x^2 + 1) > \log_{0.4} (2x + 25); $

6) $ \log_{\frac{1}{9}} (1 - x^2) > \log_{\frac{1}{9}} (2x + 2); $

7) $ 2\log_3 x - \log_3 (2x + 9) \le 1; $

8) $ \lg \frac{x+3}{x+4} > \lg \frac{x+5}{x+2}. $

1) $\log_6(x + 1) < \log_6(2x + 5)$

Данное логарифмическое неравенство имеет основание $a = 6$, которое больше 1. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подлогарифмические выражения должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x + 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > -2.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -1$.

Теперь решим основное неравенство:
$x + 1 < 2x + 5$
$1 - 5 < 2x - x$
$-4 < x$

Найдем пересечение решения неравенства ($x > -4$) с ОДЗ ($x > -1$). Общим решением является интервал $x > -1$.

Ответ: $(-1; +\infty)$

2) $\log_2(2x - 3) > \log_2(3x - 5)$

Основание логарифма $a = 2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 3 \\ 3x > 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1.5 \\ x > 5/3 \end{cases}$
Так как $5/3 \approx 1.67$, то пересечением является $x > 5/3$.

Решаем неравенство для подлогарифмических выражений:
$2x - 3 > 3x - 5$
$5 - 3 > 3x - 2x$
$2 > x$

Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x > 5/3$. Получаем интервал $5/3 < x < 2$.

Ответ: $(5/3; 2)$

3) $\ln(x^2 - 3) > \ln(3x - 7)$

Натуральный логарифм имеет основание $e \approx 2.718 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 3 > 0 \\ 3x - 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 > 3 \\ 3x > 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty) \\ x > 7/3 \end{cases}$
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $7/3 \approx 2.333$, то ОДЗ: $x > 7/3$.

Решаем основное неравенство:
$x^2 - 3 > 3x - 7$
$x^2 - 3x + 4 > 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, парабола $y = x^2 - 3x + 4$ полностью лежит выше оси Ox, то есть неравенство $x^2 - 3x + 4 > 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Пересекаем решение $x \in (-\infty; +\infty)$ с ОДЗ $x > 7/3$.

Ответ: $(7/3; +\infty)$

4) $\log_{0.7}(3x - 1) < \log_{0.7}(3 - x)$

Основание логарифма $a = 0.7$, что находится в интервале $(0; 1)$. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный.

ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x > 1 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/3 \\ x < 3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (1/3; 3)$.

Решаем основное неравенство (с измененным знаком):
$3x - 1 > 3 - x$
$4x > 4$
$x > 1$

Найдем пересечение решения $x > 1$ с ОДЗ $x \in (1/3; 3)$. Общим решением является интервал $1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$

5) $\log_{0.4}(x^2 + 1) > \log_{0.4}(2x + 25)$

Основание $a = 0.4 < 1$, поэтому знак неравенства меняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 + 1 > 0 \\ 2x + 25 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; +\infty) \\ 2x > -25 \end{cases} \Rightarrow x > -12.5$
Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно. ОДЗ: $x > -12.5$.

Решаем неравенство с измененным знаком:
$x^2 + 1 < 2x + 25$
$x^2 - 2x - 24 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 6, x_2 = -4$.
Неравенство $(x - 6)(x + 4) < 0$ выполняется на интервале $(-4; 6)$.

Пересекаем решение $x \in (-4; 6)$ с ОДЗ $x > -12.5$.

Ответ: $(-4; 6)$

6) $\log_{1/9}(1 - x^2) > \log_{1/9}(2x + 2)$

Основание $a = 1/9 < 1$, поэтому знак неравенства меняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} 1 - x^2 > 0 \\ 2x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 < 1 \\ 2x > -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1 < x < 1 \\ x > -1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-1; 1)$.

Решаем неравенство с измененным знаком:
$1 - x^2 < 2x + 2$
$0 < x^2 + 2x + 1$
$0 < (x + 1)^2$
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = -1$.

Пересекаем решение $x \ne -1$ с ОДЗ $x \in (-1; 1)$. Так как ОДЗ не включает точку $x=-1$, решением является само ОДЗ.

Ответ: $(-1; 1)$

7) $2\log_3 x - \log_3(2x + 9) \le 1$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:
$\log_3(x^2) - \log_3(2x + 9) \le \log_3(3)$
$\log_3\left(\frac{x^2}{2x + 9}\right) \le \log_3(3)$

ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ 2x + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -4.5 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 0$.

Основание $a = 3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2}{2x + 9} \le 3$
$\frac{x^2}{2x + 9} - 3 \le 0$
$\frac{x^2 - 3(2x + 9)}{2x + 9} \le 0$
$\frac{x^2 - 6x - 27}{2x + 9} \le 0$
Решим методом интервалов. Корни числителя $x^2 - 6x - 27 = 0$: $x_1 = 9, x_2 = -3$. Корень знаменателя $2x + 9 = 0$: $x = -4.5$.
Нанесем точки на числовую прямую: $-4.5, -3, 9$.
Знаки выражения на интервалах: $(+) \text{ на } (9; +\infty)$, $(-) \text{ на } (-3; 9)$, $(+) \text{ на } (-4.5; -3)$, $(-) \text{ на } (-\infty; -4.5)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4.5) \cup [-3; 9]$.

Пересекаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$):
$x \in (0; 9]$.

Ответ: $(0; 9]$

8) $\lg \frac{x + 3}{x + 4} > \lg \frac{x + 5}{x + 2}$

Основание десятичного логарифма $a=10 > 1$, знак неравенства сохраняется.

ОДЗ:
1) $\frac{x + 3}{x + 4} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -4) \cup (-3; +\infty)$
2) $\frac{x + 5}{x + 2} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$
Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$.

Решаем основное неравенство:
$\frac{x + 3}{x + 4} > \frac{x + 5}{x + 2}$
$\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{x + 5}{x + 2} > 0$
$\frac{(x + 3)(x + 2) - (x + 5)(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} > 0$
$\frac{(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 9x + 20)}{(x + 4)(x + 2)} > 0$
$\frac{-4x - 14}{(x + 4)(x + 2)} > 0$
Решим методом интервалов. Корни: $x = -3.5, x = -4, x = -2$.
Знаки выражения на интервалах: $(+) \text{ на } (-\infty; -4)$, $(-) \text{ на } (-4; -3.5)$, $(+) \text{ на } (-3.5; -2)$, $(-) \text{ на } (-2; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3.5; -2)$.

Пересекаем решение $x \in (-\infty; -4) \cup (-3.5; -2)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$.
Общим решением является интервал $(-\infty; -5)$.

Ответ: $(-\infty; -5)$