Номер 392, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 392, страница 251.

392. Сравните с нулём число:

1) $\log_2 \frac{1}{5}$;

2) $\log_3 4$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 0,6$;

4) $\log_{\frac{1}{6}} 10$.

Чтобы сравнить значение логарифма с нулем, воспользуемся свойством, что $\log_a{1} = 0$ для любого допустимого основания $a$ (где $a > 0, a \neq 1$). Таким образом, задача сводится к сравнению аргумента логарифма с единицей, с учетом его основания.

Существует два основных случая в зависимости от основания логарифма $a$:

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является возрастающей. Это значит, что если аргумент $b > 1$, то $\log_a{b} > \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} > 0$. Если же $0 < b < 1$, то $\log_a{b} < \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} < 0$.
• Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является убывающей. Это значит, что если аргумент $b > 1$, то $\log_a{b} < \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} < 0$. Если же $0 < b < 1$, то $\log_a{b} > \log_a{1}$, и, следовательно, $\log_a{b} > 0$.

Применим эти правила к каждому из выражений.

1) $\log_2{\frac{1}{5}}$

Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей.

Аргумент логарифма $b = \frac{1}{5}$. Так как $0 < \frac{1}{5} < 1$.

Поскольку основание больше 1, а аргумент меньше 1, значение логарифма будет меньше нуля. Формально: так как функция возрастающая и $\frac{1}{5} < 1$, то $\log_2{\frac{1}{5}} < \log_2{1}$. А поскольку $\log_2{1} = 0$, то $\log_2{\frac{1}{5}} < 0$.

Ответ: $\log_2{\frac{1}{5}} < 0$.

2) $\log_3{4}$

Основание логарифма $a = 3$. Так как $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей.

Аргумент логарифма $b = 4$. Так как $4 > 1$.

Поскольку основание больше 1 и аргумент больше 1, значение логарифма будет больше нуля. Формально: так как функция возрастающая и $4 > 1$, то $\log_3{4} > \log_3{1}$. А поскольку $\log_3{1} = 0$, то $\log_3{4} > 0$.

Ответ: $\log_3{4} > 0$.

3) $\log_{\frac{1}{3}}{0,6}$

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей.

Аргумент логарифма $b = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$.

Поскольку основание меньше 1 и аргумент меньше 1, значение логарифма будет больше нуля. Формально: так как функция убывающая и $0,6 < 1$, то $\log_{\frac{1}{3}}{0,6} > \log_{\frac{1}{3}}{1}$. А поскольку $\log_{\frac{1}{3}}{1} = 0$, то $\log_{\frac{1}{3}}{0,6} > 0$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}}{0,6} > 0$.

4) $\log_{\frac{1}{6}}{10}$

Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < \frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей.

Аргумент логарифма $b = 10$. Так как $10 > 1$.

Поскольку основание меньше 1, а аргумент больше 1, значение логарифма будет меньше нуля. Формально: так как функция убывающая и $10 > 1$, то $\log_{\frac{1}{6}}{10} < \log_{\frac{1}{6}}{1}$. А поскольку $\log_{\frac{1}{6}}{1} = 0$, то $\log_{\frac{1}{6}}{10} < 0$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{6}}{10} < 0$.