Номер 389, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 389, страница 250.

389. Постройте график функции:

1) $y = 5^{\log_5 (x - 1)};$

2) $y = 2^{-\log_2 x};$

3) $y = 10^{\lg \sin x};$

4) $y = e^{\ln(4 - x^2)};$

5) $y = \sqrt{\ln \sin x};$

6) $y = \sqrt{\log_5^2 x \cdot \log_x 5}.$

1)

Дана функция $y = 5^{\log_5 (x - 1)}$.
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.
2. Упростим выражение для функции, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (при $a > 0, a \neq 1, b > 0$):
$y = x - 1$.
3. Графиком функции является прямая $y = x - 1$, но с учетом ОДЗ $x > 1$. Это означает, что мы строим часть прямой (луч), которая начинается в точке с абсциссой $x=1$. Координаты начальной точки: $y = 1 - 1 = 0$, то есть $(1, 0)$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), сама точка $(1, 0)$ не принадлежит графику (является "выколотой").
Ответ: Графиком функции является луч прямой $y = x - 1$ с началом в выколотой точке $(1, 0)$.

2)

Дана функция $y = 2^{-\log_2 x}$.
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.
2. Упростим выражение, используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:
$-\log_2 x = \log_2 (x^{-1}) = \log_2 \left(\frac{1}{x}\right)$.
Теперь применим основное логарифмическое тождество:
$y = 2^{\log_2 (1/x)} = \frac{1}{x}$.
3. Графиком функции является гипербола $y = 1/x$. С учетом ОДЗ $x > 0$, мы строим только ту ветвь гиперболы, которая расположена в первой координатной четверти.
Ответ: Графиком функции является ветвь гиперболы $y = 1/x$, расположенная в I координатной четверти.

3)

Дана функция $y = 10^{\lg \sin x}$. (lg - это десятичный логарифм, т.е. $\log_{10}$).
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\sin x > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $x$ находится в I или II координатной четверти, то есть на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
ОДЗ: $\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (2\pi n, \pi + 2\pi n)$.
2. Упростим выражение для функции, используя основное логарифмическое тождество:
$y = \sin x$.
3. Графиком функции является синусоида $y = \sin x$, но построенная только на тех интервалах, где она положительна (лежит выше оси Ox). Это представляет собой последовательность "арок" синусоиды. Концевые точки каждой арки (например, $(0,0)$ и $(\pi, 0)$ для $n=0$) не принадлежат графику, так как в этих точках $\sin x = 0$.
Ответ: Графиком функции является совокупность арок синусоиды $y = \sin x$, лежащих выше оси абсцисс на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Концевые точки арок, лежащие на оси абсцисс, выколоты.

4)

Дана функция $y = e^{\ln(4 - x^2)}$. (ln - это натуральный логарифм, т.е. $\log_e$).
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$4 - x^2 > 0 \implies x^2 < 4 \implies -2 < x < 2$.
ОДЗ: $x \in (-2, 2)$.
2. Упростим выражение для функции, используя основное логарифмическое тождество:
$y = 4 - x^2$.
3. Графиком функции является парабола $y = 4 - x^2$, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$. С учетом ОДЗ, мы строим только часть этой параболы, дугу, для которой $x \in (-2, 2)$. Границы этого интервала, точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, не принадлежат графику и являются выколотыми.
Ответ: Графиком функции является дуга параболы $y = 4 - x^2$ с вершиной в точке $(0, 4)$, расположенная между выколотыми точками $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

5)

Дана функция $y = \sqrt{\ln \sin x}$.
1. Найдем ОДЗ. Существуют два условия:
а) Аргумент логарифма должен быть положителен: $\sin x > 0$.
б) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\ln \sin x \ge 0$.
Решим второе неравенство. Так как основание натурального логарифма $e > 1$, то оно равносильно неравенству $\sin x \ge e^0$, то есть $\sin x \ge 1$.
Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, единственное значение, удовлетворяющее неравенству $\sin x \ge 1$, это $\sin x = 1$. Это значение также удовлетворяет и первому условию $\sin x > 0$.
Уравнение $\sin x = 1$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, область определения функции — это дискретное множество точек.
2. Найдем значение функции в этих точках:
$y = \sqrt{\ln(1)} = \sqrt{0} = 0$.
3. График функции состоит из набора изолированных точек, лежащих на оси абсцисс. Координаты этих точек $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 0)$ для всех целых $n$.
Ответ: Графиком функции является бесконечное множество изолированных точек на оси абсцисс с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6)

Дана функция $y = \sqrt{\log_5^2 x \cdot \log_x 5}$.
1. Найдем ОДЗ. Должны выполняться условия:
а) Для $\log_5 x$: $x > 0$.
б) Для $\log_x 5$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
в) Для квадратного корня: $\log_5^2 x \cdot \log_x 5 \ge 0$.
2. Упростим выражение под корнем. Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_x 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 x} = \frac{1}{\log_5 x}$. Эта формула верна при $x > 0, x \neq 1$.
Подставим это в неравенство из условия (в):
$\log_5^2 x \cdot \frac{1}{\log_5 x} \ge 0$.
После сокращения (возможно, так как $x \neq 1$ и, следовательно, $\log_5 x \neq 0$) получаем:
$\log_5 x \ge 0$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, это неравенство равносильно $x \ge 1$.
Объединяем все условия для ОДЗ: $(x > 0 \text{ и } x \neq 1) \text{ и } (x \ge 1)$. Получаем $x > 1$.
ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.
3. Упростим саму функцию на её области определения. Выражение под корнем, как мы выяснили, равно $\log_5 x$.
Следовательно, $y = \sqrt{\log_5 x}$.
4. График функции $y = \sqrt{\log_5 x}$ определён для $x > 1$. Он начинается в точке $(1, 0)$, которая является выколотой. Функция возрастает при увеличении $x$. Например, при $x=5$, $y=\sqrt{\log_5 5} = \sqrt{1} = 1$. При $x=25$, $y=\sqrt{\log_5 25} = \sqrt{2}$. График представляет собой кривую, которая медленно поднимается вверх вправо.
Ответ: Графиком функции является кривая $y = \sqrt{\log_5 x}$, определённая при $x > 1$. График начинается в выколотой точке $(1, 0)$ и является медленно возрастающей кривой, проходящей, например, через точку $(5, 1)$.