Номер 382, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 382, страница 249.

382. Решите уравнение:

1) $3^x - 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} - 50 \cdot 2^x = 0;$

2) $3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^{2x+2} = 0;$

3) $5^{2x+1} - 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1};$

4) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0.$

1) $3^x - 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} - 50 \cdot 2^x = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $3^x = (3^{\frac{x}{2}})^2$, $6^{\frac{x}{2}} = (2 \cdot 3)^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} \cdot 3^{\frac{x}{2}}$, и $2^x = (2^{\frac{x}{2}})^2$.

$(3^{\frac{x}{2}})^2 - 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}} - 50 \cdot (2^{\frac{x}{2}})^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^x > 0$, то и $(2^{\frac{x}{2}})^2 > 0$. Разделим обе части уравнения на $(2^{\frac{x}{2}})^2$:

$\frac{(3^{\frac{x}{2}})^2}{(2^{\frac{x}{2}})^2} - 5 \frac{3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}}{(2^{\frac{x}{2}})^2} - 50 \frac{(2^{\frac{x}{2}})^2}{(2^{\frac{x}{2}})^2} = 0$

$(\frac{3}{2})^x - 5 (\frac{3}{2})^{\frac{x}{2}} - 50 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{2})^{\frac{x}{2}}$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 5t - 50 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$.

$t_1 = \frac{5 + 15}{2} = 10$

$t_2 = \frac{5 - 15}{2} = -5$

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_1 = 10$:

$(\frac{3}{2})^{\frac{x}{2}} = 10$

Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{3}{2}$:

$\frac{x}{2} = \log_{\frac{3}{2}}(10)$

$x = 2\log_{\frac{3}{2}}(10)$

Ответ: $2\log_{\frac{3}{2}}(10)$.

2) $3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^{2x+2} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$3^{2x} \cdot 3^4 + 45 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^{2x} \cdot 2^2 = 0$

$81 \cdot (3^x)^2 + 45 \cdot 2^x \cdot 3^x - 36 \cdot (2^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^x > 0$, разделим обе части уравнения на $(2^x)^2$:

$81 \frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} + 45 \frac{2^x \cdot 3^x}{(2^x)^2} - 36 \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$81 (\frac{3}{2})^{2x} + 45 (\frac{3}{2})^x - 36 = 0$

Разделим все уравнение на 9 для упрощения:

$9 (\frac{3}{2})^{2x} + 5 (\frac{3}{2})^x - 4 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{2})^x$, где $t > 0$.

$9t^2 + 5t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$t_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$t_2 = \frac{-5 - 13}{18} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_1 = \frac{4}{9}$:

$(\frac{3}{2})^x = \frac{4}{9}$

$(\frac{3}{2})^x = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

3) $5^{2x+1} - 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1}$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем, используя свойства степеней:

$5^{2x} \cdot 5^1 - 3 \cdot (2 \cdot 5)^x - 2^{2x} \cdot 2^1 = 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 2 \cdot (2^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^x > 0$, разделим обе части уравнения на $(2^x)^2$:

$5 \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - 3 \frac{2^x \cdot 5^x}{(2^x)^2} - 2 \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$5 (\frac{5}{2})^{2x} - 3 (\frac{5}{2})^x - 2 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{5}{2})^x$, где $t > 0$.

$5t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 7}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$

Корень $t_2 = -\frac{2}{5}$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_1 = 1$:

$(\frac{5}{2})^x = 1$

$(\frac{5}{2})^x = (\frac{5}{2})^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

4) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$

Преобразуем уравнение, используя $4=2^2$, $14=2 \cdot 7$, $49=7^2$:

$7 \cdot (2^2)^{x^2} - 9 \cdot (2 \cdot 7)^{x^2} + 2 \cdot (7^2)^{x^2} = 0$

$7 \cdot (2^{x^2})^2 - 9 \cdot 2^{x^2} \cdot 7^{x^2} + 2 \cdot (7^{x^2})^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^{x^2} > 0$, разделим обе части уравнения на $(2^{x^2})^2$:

$7 \frac{(2^{x^2})^2}{(2^{x^2})^2} - 9 \frac{2^{x^2} \cdot 7^{x^2}}{(2^{x^2})^2} + 2 \frac{(7^{x^2})^2}{(2^{x^2})^2} = 0$

$7 - 9 (\frac{7}{2})^{x^2} + 2 ((\frac{7}{2})^{x^2})^2 = 0$

Перепишем в стандартном виде:

$2 ((\frac{7}{2})^{x^2})^2 - 9 (\frac{7}{2})^{x^2} + 7 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{7}{2})^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $(\frac{7}{2})^{x^2} \ge (\frac{7}{2})^0 = 1$, следовательно $t \ge 1$.

$2t^2 - 9t + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

$t_1 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$t_2 = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$. Рассмoтрим оба случая.

Случай 1: $t_1 = \frac{7}{2}$

$(\frac{7}{2})^{x^2} = \frac{7}{2}$

$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$

Случай 2: $t_2 = 1$

$(\frac{7}{2})^{x^2} = 1$

$x^2 = 0 \implies x_3 = 0$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.