Номер 378, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 378, страница 249.

378. Решите уравнение:

1) $3^x - 2 \cdot 3^{x-2} = 7;$

2) $2^{x+1} + 2^{x-3} = 68;$

3) $7^x - \left(\frac{1}{7}\right)^{1-x} = 6;$

4) $4^{\frac{x}{2}} + 2^{x-5} - 2^{x-7} = 262;$

5) $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 3^{x-1} - 3^{x-2} + 3^{x-3};$

6) $2^{2x-1} + 2^{2x-3} - 2^{2x-5} = 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}.$

1) $3^x - 2 \cdot 3^{x-2} = 7$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^x - 2 \cdot \frac{3^x}{3^2} = 7$

$3^x - \frac{2}{9} \cdot 3^x = 7$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \left(1 - \frac{2}{9}\right) = 7$

$3^x \cdot \frac{7}{9} = 7$

Разделим обе части на $\frac{7}{9}$:

$3^x = 7 \cdot \frac{9}{7}$

$3^x = 9$

Так как $9 = 3^2$, получаем:

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

2) $2^{x+1} + 2^{x-3} = 68$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x \cdot 2^1 + \frac{2^x}{2^3} = 68$

$2 \cdot 2^x + \frac{1}{8} \cdot 2^x = 68$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(2 + \frac{1}{8}\right) = 68$

$2^x \left(\frac{16+1}{8}\right) = 68$

$2^x \cdot \frac{17}{8} = 68$

Решим относительно $2^x$:

$2^x = 68 \cdot \frac{8}{17}$

$2^x = 4 \cdot 8$

$2^x = 32$

Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^x = 2^5$

$x = 5$

Ответ: $5$.

3) $7^x - \left(\frac{1}{7}\right)^{1-x} = 6$

Преобразуем второй член уравнения, используя свойство $(a^{-1})^n = a^{-n}$:

$\left(\frac{1}{7}\right)^{1-x} = (7^{-1})^{1-x} = 7^{-1(1-x)} = 7^{x-1}$

Уравнение принимает вид:

$7^x - 7^{x-1} = 6$

$7^x - \frac{7^x}{7} = 6$

Вынесем $7^x$ за скобки:

$7^x \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 6$

$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$

Решим относительно $7^x$:

$7^x = 6 \cdot \frac{7}{6}$

$7^x = 7$

$7^x = 7^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $4^{\frac{x}{2}} + 2^{x-5} - 2^{x-7} = 262$

Приведем все члены к основанию 2:

$4^{\frac{x}{2}} = (2^2)^{\frac{x}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{x}{2}} = 2^x$

Уравнение принимает вид:

$2^x + 2^{x-5} - 2^{x-7} = 262$

Используем свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x + \frac{2^x}{2^5} - \frac{2^x}{2^7} = 262$

$2^x + \frac{2^x}{32} - \frac{2^x}{128} = 262$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 + \frac{1}{32} - \frac{1}{128}\right) = 262$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$2^x \left(\frac{128}{128} + \frac{4}{128} - \frac{1}{128}\right) = 262$

$2^x \cdot \frac{131}{128} = 262$

Решим относительно $2^x$:

$2^x = 262 \cdot \frac{128}{131}$

$2^x = 2 \cdot 128$

$2^x = 256$

Так как $256 = 2^8$, получаем:

$2^x = 2^8$

$x = 8$

Ответ: $8$.

5) $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 3^{x-1} - 3^{x-2} + 3^{x-3}$

Вынесем общий множитель за скобки в левой и правой частях уравнения.

В левой части вынесем $2^{x-3}$:

$2^{x-3}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{x-3}(4+2+1) = 7 \cdot 2^{x-3}$

В правой части вынесем $3^{x-3}$:

$3^{x-3}(3^2 - 3^1 + 1) = 3^{x-3}(9-3+1) = 7 \cdot 3^{x-3}$

Уравнение принимает вид:

$7 \cdot 2^{x-3} = 7 \cdot 3^{x-3}$

Разделим обе части на 7:

$2^{x-3} = 3^{x-3}$

Разделим обе части на $3^{x-3}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{2^{x-3}}{3^{x-3}} = 1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то:

$x-3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $3$.

6) $2^{2x-1} + 2^{2x-3} - 2^{2x-5} = 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях уравнения.

В левой части вынесем $2^{2x-5}$:

$2^{2x-5}(2^4 + 2^2 - 1) = 2^{2x-5}(16 + 4 - 1) = 19 \cdot 2^{2x-5}$

В правой части вынесем $2^{3-x}$:

$2^{3-x}(2^4 + 2^2 - 1) = 2^{3-x}(16 + 4 - 1) = 19 \cdot 2^{3-x}$

Уравнение принимает вид:

$19 \cdot 2^{2x-5} = 19 \cdot 2^{3-x}$

Разделим обе части на 19:

$2^{2x-5} = 2^{3-x}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$2x-5 = 3-x$

$2x+x = 3+5$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$.