Номер 371, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 371, страница 248.

371. На одном из рисунков 12, а–г изображён график функции $y = 0.2^{-x}$. Укажите этот рисунок.

Рис. 12

а

б

в

г

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = 0.2^{-x}$, преобразуем данное функциональное выражение.

Представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Тогда функция примет вид: $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x}$.

Используя свойство степеней $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$, получим:

$y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x} = \left(\frac{5}{1}\right)^{x} = 5^x$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти график показательной функции $y = 5^x$.

Проанализируем ключевые свойства функции $y = 5^x$:

• Это показательная функция вида $y=a^x$, где основание $a=5$.
• Поскольку основание $a = 5 > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• При любом значении $x$, значение $y = 5^x$ всегда будет положительным ($y>0$). Это означает, что график функции полностью лежит выше оси абсцисс (оси Ox).
• Найдем точку пересечения графика с осью ординат (осью Oy), подставив $x=0$: $y = 5^0 = 1$. Следовательно, график проходит через точку с координатами $(0, 1)$.

Теперь сравним эти свойства с предложенными на рисунках графиками:

• Графики в и г расположены ниже оси Ox, что соответствует отрицательным значениям функции. Это противоречит свойству $y > 0$, поэтому они не подходят.
• Графики а и б расположены выше оси Ox и оба проходят через точку $(0, 1)$.
• График а является графиком возрастающей функции (при увеличении $x$ кривая идет вверх).
• График б является графиком убывающей функции (при увеличении $x$ кривая идет вниз).

Так как функция $y = 5^x$ является возрастающей, ей соответствует график, изображенный на рисунке а.

Ответ: а